Следуя первому началу термодинамики (закону сохранения энергии), составим баланс энергии в неподвижной системе коор­динат (рис. 2.1), т.е. рассмотрим преобразование энергии в од­ной и той же массе газа, заполнявшей вначале объем 1 - 2, а через бесконечно малый промежуток времени dτ переместив­шейся в положение 1" - 2".

Приращение любого вида энергии равно разности количеств этого вида энергии в положениях 1’ - 2" и 1 - 2. Ввиду того, что заштрихованный объем 1’ - 2 является общим для этих двух положений, приращение энергии измеряется разностью количеств энергии в бесконечно малых объемах 2 - 2" и. 1 - 1" . Отсюда следует, что приращение кинетической энергии равно

здесь dG - массовый расход газа через поперечное сечение струйки за время dτ. Приращение потенциальной энергии (энер­гии положения)

где z 2 и z 1 - высоты расположения (нивелирные уровни) сече­ний 2 и 1, g - ускорение силы тяжести. Приращение внутрен­ней (тепловой) энергии

где U = c v -T - тепловая энергия единицы массы газа (произ­ведение теплоемкости при постоянном объеме на абсолютную температуру). Если теплоемкость газа в сечениях 1 и 2 одина­кова, то прирост внутренней энергии равен

На основания выделенной части струйки газа действуют на­правленные внутрь и по нормали к ним внешние силы давле­ния р. При перемещении газа внешние силы давления произво­дят работу. Например, перенос газа из сечения 1 в сечение 1’ происходит как бы под действием поршня площадью F 1 с дав­лением р 1 . Работа поршня за время dτ равна

Точно так же можно представить себе, что давление р 2 на сече­ние 2 осуществляется поршнем площадью F 2. За время dτ газ переместит поршень в положение 2, производя отрицательную работу

Силы давления, действующие на боковую поверхность струй­ки (поверхность тока), никакой работы не производят, так как они нормальны к траекториям движения частиц газа. Таким об­разом, энергия, внесенная силами давления, равна разности между работами поршня 1 и поршня 2:

К газовой струйке на участке 1 - 2 может быть за время dt подведено тепло в количестве . Далее газовая струйка за время dτ может произвести техническую работу dl, например, приводя во вращение колесо турбины, установленное между се­чениями 1 и 2. Наконец, следует учесть энергию, расходуемую газом за время dτ на преодоление сил трения dl Tp .

Согласно первому началу термодинамики подведенные к газу тепловая энергия и работа сил давления расходуются на со­вершение технической работы, работы сил трения, а также на изменение внутренней энергии

Тогда соотношение (2.11) примет несколько иной вид:

или на основании (2.10)

Используя выражения (2.6), (2.7) и (2.13), можно придать урав­нению энергии следующую форму:

Уравнение энергии (2.14) иногда называют также уравнением теплосодержания. Существенно то обстоятельство, что уравнение теплосодержания не содержит работы трения. По­скольку энергия, расходуемая на преодоление трения или любого другого вида сопротивлений, преобразуется полностью в тепло, а последнее остается в газовой струе, наличие сил трения не может нарушить общий баланс энергии, а лишь приводит к преобразованию одного вида энергии в другой.

Обычно в технике приходится иметь дело с частными фор­мами уравнения теплосодержания. Так, в большинстве случаев изменение потенциальной энергии пренебрежимо мало в срав­нении с другими частями уравнения энергии, и членом g(z 2 - z 1) пренебрегают. Тогда уравнение теплосодержания имеет следую­щий вид:

При отсутствии технической работы и теплообмена с окру­жающей средой, т. е. в случае энергетически изолированного процесса в газе, имеем

В частности, уравнение (2.16) определяет движение газа по трубе, если нет теплопередачи через стенки. Согласно сказанному это уравнение справедливо вне зависимости от того, действуют или нет силы трения. Иначе говоря, изменение теплосодержания (температуры) в энергетически изолированном процессе свя­зано только с изменением скорости. Если скорость газа не ме­няется, то остается постоянной и температура.

Если нет теплообмена, но присутствует техническая работа, то расчет лишь не­много усложнится. Именно:

Когда технической работы нет, уравнение теплосодержания дает

в таком виде оно применяется к теплообменным процессам.

Применительно к энергетически изолированным течениям газа, когда выполняются условия

и уравнение теплосодержания приобретает форму (2.16). Его можно записать следующим образом

Отсюда нетрудно видеть, что если газовую струю затормозить полностью, то теплосодержание газа достигает максимального возможного значения:

Получающееся при этом значение теплосодержания i* называется полным теплосодержанием, а соответствующую абсо­лютная температура

- температурой торможения.

Итак, температура газа получается равной температуре тор­можения в том случае, когда скорость течения уменьшается до нуля при отсутствии энергетического обмена с окружающей сре­дой. Пользуясь средним значением теплоемкости, можно вычис­лить температуру торможения по следующей формуле:

Следует подчеркнуть, что, согласно уравнению энергии (2.20), в энергетически изолированном потоке идеального газа сущест­вует однозначная зависимость между температурой газа Т (теп­лосодержанием i) и скоростью течения w . Повышение скорости в таком потоке всегда сопровождается снижением температуры независимо от изменения других параметров газа.

Следуя закону сохранения энергии, составим баланс энергии для массы газа, заполняющей сначала объем 1 - 2, а через время dt объем 1" - 2" (рис. 3.3). Так как заштрихованный объем 1" - 2 y них общий, то приращение любого вида энергии равно разности энергии этого вида в бесконечно малых объемах 2 - 2" и 1 - 1".

Приращение кинетической энергии

Приращение потенциальной энергии

где Z 2 и Z 1 – высоты расположения сечений 1и 2, g – ускорение силы тяжести.

Приращение внутренней (тепловой) энергии

где u=С n T - внутренняя энергия единицы массы газа, равная произведению теплоемкости при постоянном давлении С n на абсолютную температуру. Если С n =const , то

При перемещении выделенного нами объема из состояния 1 - 2 в состояние 1" - 2" внешние силы совершают работу. Перенос газа из сечения 1 в 1" происходит как бы под действием поршня площадью F 1 c давлением Р 1 .

Работа поршня за время dt равна

Здесь использованы следующие соотношения

F 1 w 1 =V 1 - объем, который вытесняет поршень за 1 с; м 3 /c;

n 1 =V 1 /M - удельный объем м 3 /кг;

М - массовый расход, кг/c;

r 1 =1/n 1 плотность кг/м 3 ;

dМ - масса, которую вытесняет поршень за время dt

Аналогично для сечения 2. За время dt газ переместит поршень в положение 2", произведя над внешней средой работу, которую будем считать отрицательной,

Таким образом, энергия, внесенная силами давления, равна разности между работами поршня 1 и 2:

К газовой струйке на участке 1 - 2 за время dt может быть подведено тепло в количестве dQ . Газовая струйка может произвести техническую работу dL , например, вращая колесо турбины, установленное между сечениями 1 и 2. Следует также учесть энергию, расходуемую на преодоление сил трения dL тр. Согласно первому закону термодинамики, подведенные к газу тепловая энергия dQ и работа сил давления расходуются на совершение технической работы dL , работы сил трения dL тр , а также на повышение запасов потенциальной, внутренней и кинетической энергии:

Разделив все члены полученного выражения на dМ , получим уравнение энергии, записанное для 1 кг массы газа

где q - тепло, подводимое к 1 кг газа; dL - работа, совершаемая 1 кг газа; dL тр - работа по преодолению сил трения, приходящаяся на 1 кг газа.

Приток тепла q осуществляется двумя способами: извне (q нар ) - за счет теплообмена через боковую поверхность струйки или за счет выделения тепла в самой струйке в результате сгорания топлива и изнутри (q тр) - за счет преобразования в тепло работы трения L тр :

В дифференциальной форме

1) Система уравнений Навье - Стокса и уравнение неразрывности содержат 6 неизвестных: три компоненты вектора скорости плотность давление и коэффициент вязкости Коэффициент вязкости зависит только от температуры и считается обычно заданной функцией абсолютной температуры Г:

Это уравнение содержит новое седьмое неизвестное - абсолютную температуру Абсолютная температура связана с плотностью и давлением уравнением состояния:

В зависимости от характера среды функция имеет ту или иную структуру. В случае газов условимся уравнение состояния брать в форме Клайперона:

где газовая постоянная; в случае несжимаемой жидкости это уравнение заменяется условием

Итак, мы пришли к системе шести скалярных уравнений [три уравнения Навье - Стокса, уравнение неразрывности, уравнения ], которые содержат 7 неизвестных:

Для того чтобы задача могла быть поставлена, необходимо еще одно уравнение.

Таким замыкающим уравнением является уравнение баланса энергии. Будем следить за некоторой массой жидкости, занимающей объем Закон сохранения энергии утверждает, что изменение энергии этой массы жидкости за единицу времени равно мощности внешних сил, притоку энергии извне и мощности внутренних источников энергии:

Энергия массы жидкости состоит из двух слагаемых: кинетической энергии, т. е. энергии макроскопического движения частиц

Внутренней энергии, т. е. энергии теплового движения молекул газа или жидкости.

Для газов в общем случае выражение имеет довольно сложную структуру. Мы рассмотрим только случай «совершенного газа», т. е. газа, внутренняя энергия которого определяется только поступательным движением молекул. Это значит, что энергия вращательных степеней свободы молекул пренебрежимо мала по сравнению с энергией поступательного движения. Для этого случая термодинамика дает выражение

где теплоемкость газа при постоянном объеме, связанная с теплоемкостью при постоянном давлении формулой

величина «механический эквивалент тепла» Работа внешних сил складывается из работы массовых сил и работы поверхностных сил

где скорость движения жидких частиц, поверхность, ограничивающая объем

Будем считать, что приток энергии извне происходит только за счет теплопроводности. Тогда, согласно закону Фурье, количество теплоты, поступившее через поверхность в единицу времени (в механических единицах), определяется формулой

где коэффициент теплопроводности.

Подставляя в уравнение (35 выражения (36, (37) и (39) -(41), мы можем написать следующее (упрощенное) уравнение баланса энергии:

3) Уравнение - это уравнение баланса энергии в интегральной форме; для того чтобы получить дифференциальное уравнение, надо еще провести ряд преобразований. Прежде всего, заметим, что

(Эти преобразования являются прямым следствием уравнения неразрывности Далее преобразуем интегралы по поверхности, входящие в правую часть уравнения , в интегралы по объему. Прежде всего

Применив к этому интегралу формулу Гаусса - Остроградского, после очевидных вычислений получим

Аналогично преобразуем последнее слагаемое в уравнении

Используя формулы , преобразуем уравнение к виду

откуда, в силу произвольности объема получим следующее дифференциальное уравнение:

4) В уравнении (47) надо заменить компоненты тензора напряжений следующими выражениями:

Используя эти формулы и тождественное преобразование

где мы можем уравнению придать следующий вид:

5) Итак, мы получили уравнение, которое замыкает систему уравнений динамики жидкости и газа. Это уравнение можно было бы назвать обобщенным уравнением теплопроводности, поскольку уравнение распространения тепла содержится в нем как некоторый частный случай. В самом деле, предположим, что жидкость покоится; тогда уравнение (49) будет иметь вид

Если перепад температур мал, то коэффициент к можно считать независимым от координат и мы приходим к известному уравнению теплопроводности

где коэффициент носит название коэффициента температуропроводности.

Уравнение (50) описывает распространение тепла в покоящейся жидкости за счет механизма теплопроводности. Этот механизм обеспечивает мгновенную скорость распространения тепловых возмущений (см. рис. 5). Предположим, что частице жидкости, находящейся в момент времени в точке х, мы сообщили импульсное возмущение где - дельта-функция, равная нулю всюду, кроме точки и такая, что Тогда распределение температуры в любой момент времени описывается формулой

Мы видим, что каково бы ни было значение абсциссы в любой момент отличный от нуля, температура будет также отлична от нуля.

6) Рассуждения, которые были здесь проведены, относились к случаю покоящейся жидкости, причем молчаливо предполагалось, что если в начальный момент жидкость покоилась, то она будет покоиться и в последующие моменты времени. Это, вообще говоря, не так. В самом деле, если температура изменится, то, согласно уравнению состояния, изменятся плотность и давление, что в свою очередь вызовет движение жидкости. Таким образом, изменение температуры среды вызывает движение жидкости. Задачи распространения тепла и задачу о движении жидкости следует рассматривать совместно. Только в одном частном случае эти задачи могут быть разделены - в случае несжимаемой жидкости при предположении, что коэффициент вязкости не зависит от температуры. Тогда и задача о движении жидкости сводится к решению уравнения неразрывности

и уравнения Навье-Стокса

Определив из этих уравнений вектор и скаляр мы затем сможем определить поле температур из уравнения , которое в этом случае примет вид

7) Из уравнения (54) видно, что, помимо механизма теплопроводности, в распространении тепла играет роль конвективный перенос тепла - перенос за счет движения частиц жидкости. Поэтому тепловые возмущения могут распространяться также и внутри жидкости, лишенной теплопроводности Для того чтобы это пояснить, рассмотрим задачу о движении идеального нетеплопроводного газа, когда уравнение (49) принимает вид

Для вывода уравнения изменения энергии какой-либо системы в самом общем виде рассмотрим изолированную систему (ИС), состоящую из рабочего тела (РТ) в цилиндре с подвижным поршнем, источника тепла (ИТ) и окружающей среды, включающей в себя приёмник работы ПР (гиря), поршень (П) и жидкую окружающей среду (ЖОС), например, атмосферу (рис. 2.1), и применим к ней закон сохранения энергии (ЗСЭ):

Е ИС = Е РТ + Е ИТ + Е ОС = const или dЕ РТ + dЕ ИТ + dЕ ОС = 0.

Перепишем последнее уравнение в виде

dЕ = dЕ РТ = - dЕ ИТ - dЕ ОС. (2.2)

Согласно ЗСЭ (2.2) приращение энергии РТ равно убыли энергий ИТ и ОС.

На практике правые части уравнения (2.2) принято рассчитывать не через параметры источника тепла и окружающей среды, а через параметры, характеризующие особенности протекания процессов на границе системы (РТ).

Процессы переноса движения от ИТ к РТ и от РТ к ОС, включающую в себя приёмник работы, имеют различные особенности. Подвод движения от ИТ к РТ происходит в результате взаимодействия молекул газа с молекулами стенок без их макроскопического перемещения, т. е. движение подводится в хаотической форме (ХФ). Процесс подвода движения в хаотической форме принято называть процессом теплообмена (теплообменом).

При взаимодействии молекул газа с подвижным поршнем возникает макроскопическое перемещение поршня, т. е. здесь движение передаётся в упорядоченной форме (УФ). Процесс переноса движения в упорядоченной форме принято называть процессом совершения работы (работой).

Рисунок 2.1 - К выводу уравнения первого закона термодинамики из ЗСЭ

Поскольку энергия (как физическая величина) является мерой движения как содержащегося в системе, так и переданного через границу системы, то, следовательно, мерами движения, переданного в процессах теплообмена (в ХФ) и совершения работы (в УФ), будут соответственно элементарные энергии Е передХФ и Е передУФ, которые принято называть соответственно теплотой Q и работой W":

Q = Е передХФ = - dЕ ИТ и W" = Е передУФ = - dЕ ОС.

С учётом принятых обозначений уравнение ПЗТ (2.2) запишется в виде Здесь для обозначения элементарности величин теплоты Q и работы W использован символ элементарности, а не символ полного дифференциала (полного приращения) d, так как эти величины (в отличие от изменения энергии системы dE) в общем случае не могут быть рассчитаны через параметры системы и, следовательно, должны обозначаться иным символом, чем d.

dЕ = dЕРТ = ЕпередХФ + ЕпередУФ = Q + W". (2.3)

Согласно этому балансовому уравнению энергии полное приращение (изменение) энергии системы равно сумме элементарных энергий, характеризующих движение, переданное через границу системы в процессах теплообмена (в ХФ) и совершения работы (в УФ) (при этом число тел, участвующих в процессах теплообмена и совершения работы, может быть любым).

Итак, теплота и работа - это энергии движения Движение, как уже отмечалось в сноске на странице 8, - это свойство материи, которое может передаваться не только за счёт переноса вещества (перемещения тел) в пространстве, но и при взаимодействии частиц на границах системы без макроскопического переноса вещества., переданного соответственно в процессах теплообмена и совершения работы (в связи с этим их иногда называют энергиями перехода, или энергиями в процессе перехода). Поэтому в качестве единицы До 1961 г., когда была введена Международная система единиц (СИ), в качестве единицы теплоты использовались калория (от лат. calor - тепло, жар) и килокалория, а работы - эрг и килограмм-метр. Потребовались значительные усилия многих учёных, чтобы доказать эквивалентность (сходство) величин “теплота” и “работа” и установить переводной коэффициент для единиц теплоты и работы - механический эквивалент теплоты, - равный 427 кгсм / ккал. До сих пор в литературе встречается единица теплоты килокалория, поэтому укажем связь между этой единицей и килоджоулем: 1 ккал = 4,1868 кДж. теплоты и работы используется единица энергии - джоуль: [Q] = [W] = [E] = 1 Дж.

Следует заметить, что физическая величина теплота используется не только для количественной характеристики движения, переданного в процессе теплообмена, но и для оценки количества диссипированного (то есть превращённого в хаотическое движение) упорядоченного макроскопического движения, что обусловлено необходимостью учёта роста энтропии в таких процессах. Следовательно, при диссипации упорядоченного движения теплота диссипации определяется так же, как и работа - через макроскопические силы и перемещения (например, работа трения)

Выбор знака теплоты и работы. Знак теплоты и работы зависит от направления переноса движения - к системе или от системы (РТ). В соответствии с балансовым уравнением энергии (2.3) знак теплоты и работы должен совпадать со знаком изменения энергии системы: при подводе движения к системе изменение энергии системы положительно, следовательно, и подводимые теплота и работа должны быть положительными величинами, а при отводе движения - отрицательными величинами.

Для теплоты это правило выполняется всегда: подводимая теплота положительна, отводимая отрицательна. Что же касается знака работы, то исторически её знак определялся не из балансового соотношения (2.3), которого тогда не было, а из соображений, что положительна для человека та работа, которую он получает от двигателя, т. е. отводимая работа.

Работу W", знак которой определяется из балансового соотношения (2.3) - по знаку приращения энергии системы, назовём внешней по знаку Здесь понятия внешней W" и внутренней W работ формируется в соответствии с направлением подвода движения, т. е по знаку (W = - W"). Если бы знак работы соответствовал знаку изменения энергии в соотношении (4.3), как для теплоты, то не надо было бы вводить деление на внешнюю и внутреннюю по знаку работы. Так, в учебнике Бэра Г. нет деления работ на внешние и внутренние - там все работы внешние: подводимая к системе работа считается положительной, а отводимая отрицательной. работой (внешней, так как она совершается за счёт убыли внешней энергии - энергии источников работы).

Работу W, знак которой совпадает со знаком убыли энергии системы, назовём внутренней по знаку работой (внутренней, так как она совершается за счёт убыли собственной, внутренней энергии).

Между внутренней и внешней по знаку работами существует очевидная связь:

Уравнение ПЗТ (2.3) для внутренней по знаку работы запишется в виде

Уравнение (2.7) является аналитическим выражением ПЗТ для закрытой термодинамической системы (без обмена веществом с ОС) в самом общем виде и читается так: теплота идёт на изменение энергии системы и на совершение работы. Впервые это уравнение получил Р. Клаузиус в 1850 г.

Внешняя и внутренняя (по месту расчёта) работа и теплота Чаще всего понятие внешней и внутренней работы определяется в соответствии с местом расчёта работы, т. е. в зависимости от выбора границ системы - внешней и внутренней. Внутренняя граница системы включает в себя только одно рабочее тело и совпадает с внутренними поверхностями поршня, крышки и гильзы цилиндра (пунктирная линия на рис. 2.1). Внешняя граница системы включает дополнительно тонкий слой материальной оболочки, охватывающей рабочее тело (штрихпунктирная линия на рис. 2.1).

Тонкий слой оболочки толщиной, соизмеримой с диаметром молекул стенки, обладает малым запасом ВЭ и поэтому влиянием его на изменение ВЭ системы можно пренебречь. Роль тонкого слоя заключается в преобразовании упорядоченного движения поршня в хаотическое (тепловое) движение молекул этого слоя. В результате такого преобразования внешняя (эффективная) работа, отводимая от системы рабочее тело - тонкий слой оболочки (на внешней границе), получается меньше внутренней (индикаторной) работы, совершаемой рабочим телом на внутренней границе системы, на работу трения поршня о гильзу цилиндра (см. рис. 2.1)

Упорядоченное движение поршня, диссипированное в хаотическое движение тонких слоёв поршня и стенки, в результате теплообмена далее отводится к рабочему телу и в окружающую среду. Если стенки адиабатные (например, керамические) или подвод тепла осуществляется с наружной стороны цилиндра (двигатели внешнего сгорания), то всё диссипированное движение (характеризуемое работой трения W тр) возвращается к РТ в виде хаотического движения (характеризуемого теплотой трения Q тр).

Теплота, подводимая на внешней границе системы от источников тепла (или спирали, расположенной внутри газа или внутри материала оболочки) или в результате сгорания топлива внутри рабочего тела, называется внешней теплотой

При сгорании топлива внутри рабочего тела внешняя теплота меньше выделившейся теплоты сгорания на потери тепла в стенки цилиндра

Q e = Q сгор - Q пот.стен. (2.10)

В результате подвода тепла трения рабочее тело получает на внутренней границе полную теплоту, равную сумме внешней теплоты и теплоты трения

В соответствии с выше изложенным уравнение ПЗТ (2.7) для внешней границы системы (для РТ плюс оболочка) запишется в виде

а для внутренней границы системы (для одного РТ) в виде

Если ввести понятие внешней по знаку эффективной работы (положительна при совершении работы над системой) , то уравнение ПЗТ (2.12) можно записать в виде

Каждая из этих эффективных работ может быть представлена в виде суммы различных работ, совершаемых на границе системы,

где N - число различных работ.

Наряду с уравнениями сохранения массы и импульса, которые были использованы выше для вывода уравнений неразрывности и движения, при описании сплошной среды используется также и уравнение энергии. Уравнение энергии рассмотрим для частного случае адиабатического процесса, когда отсутствует теплообмен между элементами сплошной среды. В этом случае изменение внутренней энергии Е элемента сплошной среды с массой (жидкой частицы) связано только с изменением его объема (при отсутствии объемных источников тепловыделения): . Вводя в рассмотрение энергию на единицу массы вещества , получим

Поскольку , то

.

В соответствии с уравнением неразрывности , поэтому

.

Данное уравнение описывает распределение объемной плотности внутренней энергии и его изменение, вызываемое деформацией и движением среды. Вместе с тем к изменению внутренней энергии могут приводить процессы, связанные с выделением или поглощением энергии, например при нагреве электрическим током или при химических реакциях. Для учета этих явлений модифицируем последнее уравнение добавлением в его правую часть слагаемого , имеющего размерность Вт/м 3 , описывающего скорость выделения или поглощения, в зависимости от знака, энергии в точках сплошной среды.

Таким образом, полная система уравнений динамики идеальной жидкости (газа) в адиабатическом режиме имеет вид

(58)

Последнее равенство есть уравнение состояния, замыкающее систему и определяющее конкретные физические свойства среды. Приведем примеры уравнения состояния:

1. Идеальный газ: , где - постоянная Больцмана, n - концентрация частиц в газе, M - масса частицы.

2. Несжимаемая жидкость:

3. Вода при высоких давлениях , где , - давление и плотность при нормальных условиях.

Последний пример показывает, что для увеличения плотности воды на 20 % необходимо избыточное давление . Возвращаясь к уравнению энергии, получаем

,

где вместо взято произведение концентрации частиц на массу частицы. Частицы газа в общем случае имеют s степеней свободы. На каждую степень свободы при термодинамическом равновесии приходится энергия . Тогда после подстановки выражения для внутренней энергии единицы массы идеального газа в уравнение энергии получим

,

, ,

где и - постоянные. Последнему равенству можно придать вид , где - показатель адиабаты. Постоянную можно определить из начальных условий . В результате уравнение адиабаты получит вид