Механическая энергия - одна из форм энергии; получившей такое название потому, что эта энергия проявляется при механическом движении и взаимодействии вещественных объектов. Вещественные объекты в механике моделируются с помощью систем материальных точек. Твёрдое тело - это система точек, взаимное расположение которых сохраняется неизменным.

Энергия движения точек (тел) называется кинетической энергией (обозначается буквой Т) .

Энергия взаимодействия точек (тел) называется потенциальной энергией (обозначается буквой П ). Сам термин «потенциальная» означает возможность движения тел в результате обладания этой энергией.

При движении точки (или центра масс тела) кинетическая энергия равна:

где m - масса точки (тела);

 - скорость точки (или центра масс тела).

Примечание. При поступательном движении тело рассматривается как материальная точка, помещённая в центре масс.

Если тело вращается, кинетическая энергия вычисляется по формуле:

Т=J  2 , (2)

где J - момент инерции тела относительно оси вращения;

 - угловая скорость тела.

Примечание. Для более сложных типов движения тел (плоское, свободное), кинетическая энергия равна сумме энергии центра масс и вращения вокруг оси, проходящей (условно) через центр масс.

Потенциальная энергия определяется видом взаимодействия. Если изучаемые точки (тела) электронейтральны, тогда для исследований вблизи поверхности Земли надо учитывать только гравитационное взаимодействие с Землей, которое зависит от расстояния до центра земного шара.

В Приложении (см.) показано, что до высот над поверхностью Земли Н <10 км потенциальная энергия гравитационного взаимодействия точки (тела), имеющей массу m , с достаточной точностью определяется приближённой формулой:

  - mgR o + mgH , (3)

где m - масса исследуемой точки (тела);

g- ускорение силы тяготения;

R o - радиус Земли;

Н - высота подъёма точки (или центра масс тела) над поверхностью Земли.

Для практических расчётов формулу (3) используют в изменённом виде, т.к. в любых исследованиях требуется знать только разность потенциальных энергий для различных высот Н 2 и Н 1 над поверхностью Земли. Поэтому энергию на нижнем уровне обычно принимают равной нулю, и от этого уровня отсчитывают высоту подъёма h=H 2 - H 1 , где Н 1 - высота нижнего уровня над поверхностью Земли, которую не требуется находить, т.к. она не входит в расчёты. В итоге получается формула гравитационной потенциальной энергии в виде:

 = mgh (4)

Точность расчёта по формуле (4) увеличивается с уменьшением высоты над поверхностью Земли.

Формулы для потенциальной энергии в механике выводятся посредством расчёта работы, которую совершают силы при переходе точки (тела) из одного места пространства в другое (см. Приложение).

Работой силы называется физическая величина, являющаяся мерой действия силы по изменению и преобразованию разных форм энергии и равная скалярному произведению вектора силы и вектора перемещения точки её приложения.

Элементарная работа dA силы F равна:

dA = (
) , (5)

где
- элементарное перемещение точки приложения силы.

При вращательном движении тела работа определяется моментом силы, приводящим тело во вращение:

dA = M p d  , (6)

где М р - момент силы относительно оси вращения;

d  - элементарный угол поворота тела.

Интегрирование формул (5) и (6) позволяет находить работу силы на конечных перемещениях и углах поворота. Единицей измерения работы (как и энергии) является - Джоуль [Дж].

Понятие работы силы позволяет раскрыть замечательные свойства сил. Оказывается, все силы следует разделить на два вида: потенциальные (консервативные) и непотенциальные (неконсервативные) силы. Потенциальными в механике называются три силы: гравитационную, электрическую и упругой деформации. К непотенциальным относятся силы трения и сопротивления.

Замечательным свойством потенциальных сил является то, что при действии таких сил кинетическая энергия может быть преобразована только в потенциальную энергию (и наоборот). При этом работа силы точно равна изменению кинетической энергии.

При действии непотенциальных сил кинетическая и потенциальная энергия преобразуются (полностью или частично) в другие формы: например, внутреннюю энергию и энергию излучения.

Сумма кинетической и потенциальной энергии системы точек (тел) называется механической энергией.

Е = Т+П (7)

Для механической энергии установлен закон сохранения, который формулируется следующим образом: механическая энергия системы сохраняется, если работу на перемещении точек (тел) системы выполняют внешние и внутренние потенциальные силы, либо - если эта система изолирована и в ней действуют только потенциальные силы.

Отметим, что условие изолированности - это условие общефизического закона сохранения энергии. Однако для механической энергии существует еще одно условие сохранения, требующее выполнения работы только потенциальными силами, в том числе - внешними, учёт этого условия позволил решить ряд важнейших задач физики, например, рассчитать траектории небесных тел (законы Кеплера) и траектории заряженных частиц (формулы Резерфорда).

Кинетическая энергия - скалярная физическая величина, характеризующая движущееся тело и равная для материальной точки половине произведения ее массы на квадрат ее скорости:

Единицей кинетической энергии в СИ является джоуль (Дж).

При скоростях, близких к скорости света, следует пользоваться иным определением кинетической энергии.

Кинетическая энергия протяженного тела равна сумме кинетических энергий его малых частей, которые можно считать материальными точками.

Используя второй закон Ньютона, можно доказать теорему об изменении кинетической энергии тела: в инерциальной системе отсчета изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, как внутренних, так и внешних, действующих на это тело.

Если на прямолинейном участке траектории на тело, совершающее перемещение x, действуют две постоянные силы и, направленные под углами 1 и 2 к перемещению, то изменение кинетической энергии тела равно:

Механическая работа и мощность. КПД

Механическая работа A постоянной силы на перемещение - это скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы F, модуля перемещения s и косинуса угла между направлениями силы и перемещения.

А = Fs cos =Fxs,

где Fx - проекция силы на направление перемещения (рис. 4).

Работа постоянной силы в зависимости от угла между векторами силы и перемещения может быть положительной, отрицательной и равной нулю (рис. 5).

Единицей работы в СИ является джоуль (Дж).

В общем случае действия переменной силы на криволинейном участке траектории расчет работы оказывается более сложным.

Мощность - скалярная физическая величина, равная отношению работы силы A к промежутку времени t, в течение которого она была произведена:

Мощность силы может измеряться во времени N(t)

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт).

При воздействии силы на тело, движущееся со скоростью (рис. 7), мощность этой силы равна:

Часто термины работа и мощность относят к устройству, благодаря которому возникают силы, совершающие работу. Говорят о работе человека, мощности электродвигателя или двигателя автомобиля вместо работы и мощности силы натяжения веревки, с которой человек тянет сани, или работы и мощности внутренних сил или мощности сил сопротивления воздуха при движении автомобиля. В простейших случаях (подъемный кран поднимает груз) это вполне допустимо, однако в ряде случаев требует более аккуратного рассмотрения. Так, в случае движения автомобиля силой тяги является сила трения шин об асфальт, а ее работа равна нулю. В случае вертолета, зависшего над землей, сила тяги равна силе тяжести, мощность силы тяги равна нулю, однако энергия сгорающего топлива затрачивается на сообщение кинетической энергии потокам воздуха, отбрасываемого вниз.

При использовании простейших механизмов человек стремится совершить действия, которые не под силу выполнить «голыми руками» (поднять груз, сдвинуть тело и т.д.). Такие механизмы характеризуются физической величиной, называемой коэффициентом полезного действия (КПД). В механике обычно под КПД механизма понимают отношение полезной работы к затраченной.

Цель этой статьи - раскрыть сущность понятия «механическая энергия». Физика широко использует это понятие как практически, так и теоретически.

Работа и энергия

Механическую работу можно определить, если известны сила, действующая на тело, и перемещение тела. Существует и другой способ для расчета механической работы. Рассмотрим пример:

На рисунке изображено тело, которое может находиться в различных механических состояниях (I и II). Процесс перехода тела из состояния I в состояние II характеризуется механической работой, то есть при переходе из состояния I в состояние II тело может осуществить работу. При осуществлении работы меняется механическое состояние тела, а механическое состояние можно охарактеризовать одной физической величиной - энергией.

Энергия - это скалярная физическая величина всех форм движения материи и вариантов их взаимодействия.

Чему равна механическая энергия

Механической энергией называют скалярную физическую величину, которая определяет способность тела выполнять работу.

А = ∆Е

Поскольку энергия - это характеристика состояния системы в определенный момент времени, то работа - это характеристика процесса изменения состояния системы.

Энергия и работа обладают одинаковыми единицами измерения: [А] = [Е] = 1 Дж.

Виды механической энергии

Механическая свободная энергия делится на два вида: кинетическую и потенциальную.

Кинетическая энергия - это механическая энергия тела, которая определяется скоростью его движения.

Е k = 1/2mv 2

Кинетическая энергия присуща подвижным телам. Останавливаясь, они выполняют механическую работу.

В различных системах отсчета скорости одного и того же тела в произвольный момент времени могут быть разными. Поэтому кинетическая энергия - относительная величина, она обуславливается выбором системы отсчета.

Если на тело во время движения действует сила (или одновременно несколько сил), кинетическая энергия тела меняется: тело ускоряется или останавливается. При этом работа силы или работа равнодействующей всех сил, которые приложены к телу, будет равняться разнице кинетических энергий:

A = E k1 - E k 2 = ∆Е k

Этому утверждению и формуле дали название - теорема о кинетической энергии .

Потенциальной энергией именуют энергию, обусловленную взаимодействием между телами.

При падении тела массой m с высоты h сила притяжения выполняет работу. Поскольку работа и изменение энергии связаны уравнением, можно записать формулу для потенциальной энергии тела в поле силы тяжести :

E p = mgh

В отличие от кинетической энергии E k потенциальная E p может иметь отрицательное значение, когда h<0 (например, тело, лежащее на дне колодца).

Еще одним видом механической потенциальной энергии является энергия деформации. Сжатая на расстояние x пружина с жесткостью k имеет потенциальную энергию (энергию деформации):

E p = 1/2 kx 2

Энергия деформации нашла широкое применение на практике (игрушки), в технике - автоматы, реле и другие.

E = E p + E k

Полной механической энергией тела именуют сумму энергий: кинетической и потенциальной.

Закон сохранения механической энергии

Одни из самых точных опытов, которые провели в середине XIX века английский физик Джоуль и немецкий физик Майер, показали, что количество энергии в замкнутых системах остается неизменной. Она лишь переходит от одних тел к другим. Эти исследования помогли открыть закон сохранения энергии :

Полная механическая энергия изолированной системы тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел между собой.

В отличие от импульса, который не имеет эквивалентной формы, энергия имеет много форм: механическую, тепловую, энергию молекулярного движения, электрическую энергию с силами взаимодействия зарядов и другие. Одна форма энергии может переходить в другую, например, в тепловую кинетическая энергия переходит в процессе торможения автомобиля. Если сил трения нет, и тепло не образуется, то полная механическая энергия не утрачивается, а остается постоянной в процессе движения или взаимодействия тел:

E = E p + E k = const

Когда действует сила трения между телами, тогда происходит уменьшение механической энергии, однако и в этом случае она не теряется бесследно, а переходит в тепловую (внутреннюю). Если над замкнутой системой выполняет работу внешняя сила, то происходит увеличение механической энергии на величину выполненной этой силой работы. Если же замкнутая система выполняет работу над внешними телами, тогда происходит сокращение механической энергии системы на величину выполненной ею работы.
Каждый вид энергии может превращаться полностью в произвольный иной вид энергии.

Полная механическая энергия тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергии.

Полную механическую энергию рассматривают в тех случаях, когда действует закон сохранения энергии и она остаётся постоянной.

Если на движение тела не оказывают влияния внешние силы, например, нет взаимодействия с другими телами, нет силы трения или силы сопротивления движению, тогда полная механическая энергия тела остаётся неизменной во времени.

E пот + E кин = const

Разумеется, что в повседневной жизни не существует идеальной ситуации, в которой тело полностью сохраняло бы свою энергию, так как любое тело вокруг нас взаимодействует хотя бы с молекулами воздуха и сталкивается с сопротивлением воздуха. Но, если сила сопротивления очень мала и движение рассматривается в относительно коротком промежутке времени, тогда такую ситуацию можно приближённо считать теоретически идеальной.

Закон сохранения полной механической энергии обычно применяют при рассмотрении свободного падения тела, при его вертикальном подбрасывании или в случае колебаний тела.

Пример:

При вертикальном подбрасывании тела его полная механическая энергия не меняется, а кинетическая энергия тела переходит в потенциальную и наоборот.

Преобразование энергии отображено на рисунке и в таблице.

Исходя из того, что в начале движения величина кинетической энергии тела одинакова с величиной его потенциальной энергии в верхней точке траектории движения, для расчётов могут быть использованы ещё две формулы.

Если известна максимальная высота, на которую поднимается тело, тогда можно определить максимальную скорость движения по формуле:

v max = 2 ⋅ g ⋅ h max .

Если известна максимальная скорость движения тела, тогда можно определить максимальную высоту, на которую поднимается тело, брошенное вверх, по такой формуле:

h max = v max 2 2 g .

Чтобы отобразить преобразование энергии графически, можно использовать имитацию «Энергия в скейт-парке », в которой человек, катающийся на роликовой доске (скейтер) перемещается по рампе. Чтобы изобразить идеальный случай, предполагается, что не происходит потерь энергии в связи с трением. На рисунке показана рампа со скейтером, и далее на графике показана зависимость механической энергии от места положения скейтера на траектории.

На графике синей пунктирной линией показано изменение потенциальной энергии. В средней точке рампы потенциальная энергия равна \(нулю\). Зелёной пунктирной линией показано изменение кинетической энергии. В верхних точках рампы кинетическая энергия равна \(нулю\). Жёлто-зелёная линия изображает полную механическую энергию - сумму потенциальной и кинетической - в каждый момент движения и в каждой точке траектории. Как видно, она остаётся \(неизменной\) во всё время движения. Частота точек характеризует скорость движения - чем дальше точки расположены друг от друга, тем больше скорость движения.