العلاقات الثنائية.

دع A و B يكونان مجموعتين عشوائيتين. لنأخذ عنصرًا واحدًا من كل مجموعة، a من A، وb من B، ونكتبها هكذا: (أولاً عنصر من المجموعة الأولى، ثم عنصر من المجموعة الثانية - أي أن الترتيب الذي يتم به أخذ العناصر مهم بالنسبة لنا). سوف نسمي مثل هذا الكائن زوج مرتب. متساويسنحسب فقط تلك الأزواج التي تكون عناصرها متساوية في الأرقام. = إذا كان أ = ج و ب = د. من الواضح، إذا كان أ ≠ ب، إذن ≠ .

المنتج الديكارتيالمجموعتان التعسفيتان A وB (يشار إليهما بـ AB) هي مجموعة تتكون من جميع الأزواج المرتبة الممكنة، العنصر الأول منها ينتمي إلى A، والثاني ينتمي إلى B. حسب التعريف: AB = ( | أأ و ب). من الواضح أنه إذا كان A≠B، فإن AB ≠ BA. يسمى المنتج الديكارتي للمجموعة A مع نفسها n مرات القوة الديكارتيةا (يُشار إليه بـ: أ ن).

مثال 5. افترض أن A = (x، y) وB = (1، 2، 3).

أب = ( , , , , , }.

بكالوريوس = (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

أأ = أ 2 = ( , , , }.

بب = ب 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

علاقة ثنائيةعلى مجموعة M هي مجموعة من بعض الأزواج المرتبة من عناصر المجموعة M. إذا r هي علاقة ثنائية وزوج ينتمي إلى هذه العلاقة، فيكتبون: ص أو س ص ص. ومن الواضح، ص Í م 2 .

مثال 6. تعيين (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) هي علاقة ثنائية في المجموعة (1، 2، 3، 4، 5).

مثال 7. العلاقة ³ في مجموعة الأعداد الصحيحة هي علاقة ثنائية. هذه مجموعة لا حصر لها من الأزواج المرتبة من النموذج ، حيث x ³ y و x و y أعداد صحيحة. وتشمل هذه العلاقة، على سبيل المثال، الأزواج<5, 3>, <2, 2>, <324, -23>ولا تنتمي إلى الأزواج<5, 7>, <-3, 2>.

مثال 8. علاقة المساواة في المجموعة A هي علاقة ثنائية: I A = ( | × أو أ). أنا أ يسمى انحرافيمجموعات أ.

وبما أن العلاقات الثنائية عبارة عن مجموعات، فإن عمليات الاتحاد والتقاطع والجمع والفرق تنطبق عليها.

مجال التعريفالعلاقة الثنائية r هي المجموعة D(r) = ( x | يوجد y مثل xry ). مدى من القيمالعلاقة الثنائية r هي المجموعة R(r) = ( y | يوجد x بحيث xry ).

سلوك، يعكسإلى العلاقة الثنائية r Í M 2، العلاقة الثنائية r -1 = ( | يا ص). من الواضح أن D(r ‑1) = R(r)، R(r ‑1) = D(r)، r ‑ 1 Í M 2.

تعبيرالعلاقات الثنائية r 1 و r 2 المحددة في المجموعة M تسمى العلاقة الثنائية r 2 o r 1 = ( | هناك ذ مثل هذا يا ص 1 و ص 2). ومن الواضح أن r 2 o r 1 Í M 2 .

مثال 9. دع العلاقة الثنائية r يتم تعريفها على المجموعة M = (a، b، c، d)، r = ( , , , ). ثم D(r) = (a, c)، R(r) = (b، c، d)، r ‑1 = ( , , , )، ص أو ص = ( , , , )، ص-1 أو ص = ( , , , )، ص أو ص -1 = ( , , , , , , }.

اجعل r علاقة ثنائية في المجموعة M. تسمى العلاقة r عاكس، إذا كان x r x لأي x О M. يتم استدعاء العلاقة r متماثل، إذا كان مع كل زوج كما أنه يحتوي على زوجين . تسمى العلاقة r متعد، إذا كان من حقيقة أن x r y و y r z يتبع ذلك x r z. تسمى العلاقة r غير متماثل، إذا لم يكن يحتوي على زوج في نفس الوقت و عناصر مختلفة x ¹ y من المجموعة M.

دعونا نشير إلى معايير تحقيق هذه الخصائص.

العلاقة الثنائية r على المجموعة M تكون انعكاسية إذا وفقط إذا I M Í r.

العلاقة الثنائية r تكون متماثلة إذا وفقط إذا كانت r = r‑1.

العلاقة الثنائية r في المجموعة M تكون غير متماثلة إذا وفقط إذا r ç r ‑1 = I M .

العلاقة الثنائية r تكون متعدية إذا وفقط إذا r o r Í r.

مثال 10. العلاقة في المثال 6 غير متماثلة، ولكنها ليست متماثلة، أو انعكاسية، أو متعدية. العلاقة في المثال 7 هي علاقة انعكاسية وغير متماثلة ومتعدية، ولكنها ليست متماثلة. العلاقة I A تحتوي على جميع الخصائص الأربع قيد النظر. العلاقات r -1 o r و r o r -1 متماثلة، متعدية، ولكنها ليست غير متماثلة وانعكاسية.

سلوك التكافؤعلى المجموعة M هي علاقة ثنائية متعدية ومتماثلة وانعكاسية على M.

سلوك طلب جزئىعلى المجموعة M هي علاقة ثنائية متعدية وغير متماثلة وانعكاسية r على M.

مثال 11: العلاقة في المثال 7 هي علاقة ترتيب جزئية. العلاقة I A هي علاقة تكافؤ وترتيب جزئي. علاقة التوازي على مجموعة من الخطوط هي علاقة تكافؤ.

تعريف. العلاقة الثنائية رتسمى مجموعة فرعية من الأزواج (أ،ب)∈Rالمنتج الديكارتي A×B، أي R⊆A×B. وفي نفس الوقت كثير أيسمى مجال تعريف العلاقة R، وتسمى المجموعة B مجال القيم.

التعيين: aRb (أي a وb مرتبطان بـ R). /

تعليق: إذا كان A = B، يقال أن R علاقة على المجموعة A.

طرق تحديد العلاقات الثنائية

1. قائمة (تعداد الأزواج) التي تنطبق عليها هذه العلاقة.

2. المصفوفة. العلاقة الثنائية R ∈ A × A، حيث A = (a 1، a 2،...، a n)، تتوافق مع مصفوفة مربعة من الرتبة n، حيث يقع العنصر c j، عند تقاطع i- الصف الرابع والعمود j، يساوي 1 إذا كانت هناك علاقة R بين a i وa j، أو 0 إذا كانت غائبة:

خصائص العلاقات

اجعل R علاقة على المجموعة A، R ∈ A×A. ثم النسبة R:

انعكاسي إذا Ɐ a ∈ A: a R a (يحتوي القطر الرئيسي لمصفوفة العلاقة الانعكاسية على تلك فقط)؛

مضاد للانعكاس إذا Ɐ a ∈ A: a R a (يحتوي القطر الرئيسي لمصفوفة العلاقة الانعكاسية على أصفار فقط) ؛

متماثل إذا Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (مصفوفة هذه العلاقة متماثلة بالنسبة للقطر الرئيسي، أي c ij c ji);

غير متماثل إذا Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (في مصفوفة هذه العلاقة لا توجد وحدات متماثلة حول القطر الرئيسي)؛

متعدية إذا Ɐ a، b، c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (في مصفوفة هذه العلاقة يجب استيفاء الشرط: إذا كانت هناك وحدة في الصف i، على سبيل المثال ، في صفوف (عمود) الإحداثيات j، أي c ij = 1، ثم جميع الوحدات في الصف j (دع هذه الوحدات تتوافق مع إحداثيات k e بحيث c jk = 1) يجب أن تتوافق مع الوحدات الموجودة في i- الصف الرابع في نفس إحداثيات k، أي c ik = 1 (وربما أيضًا في إحداثيات أخرى).

المهمة 3.1.تحديد خصائص العلاقة R – "أن تكون مقسومًا عليها"، المحددة في مجموعة الأعداد الطبيعية.

حل.

نسبة R = ((أ، ب): المقسوم عليه ب):

انعكاسي، وليس مضاد للانعكاس، لأن أي عدد يقسم نفسه بدون باقي: a/a = 1 للجميع a∈N ؛

غير متماثل، غير متماثل، على سبيل المثال، 2 هو قاسم على 4، ولكن 4 ليس قاسمًا على 2؛

متعدية، لأنه إذا كان b/a ∈ N و c/b ∈ N، فإن c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N، على سبيل المثال، إذا كان 6/3 = 2∈N و18/6 = 3∈N ، ثم 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

المشكلة 3.2.تحديد خصائص العلاقة R – "أن تكون أخًا"، المحددة على مجموعة من الأشخاص.
حل.

العلاقة R = ((أ، ب):أ - شقيق ب):

ليست انعكاسية، ومضادة للانعكاس بسبب الغياب الواضح لـ aRa للجميع؛

غير متماثل، لأنه في الحالة العامة بين الأخ أ والأخت ب يوجد aRb، ولكن ليس bRa؛

ليس غير متماثل، لأنه إذا كان a وb أخوة، فإن aRb وbRa، ولكن a≠b؛

بشكل متعد، إذا اتصلت بالأشخاص الذين لديهم آباء مشتركين (الأب والأم) إخوة.

المشكلة 3.3.تحديد خصائص العلاقة R – "أن تكون الرئيس"، المحددة على مجموعة من عناصر الهيكل

حل.

العلاقة R = ((أ، ب): أ هو رئيس ب):

• غير عاكسة أو غير عاكسة، إذا لم يكن لها معنى في تفسير محدد؛
• غير متماثل، غير متماثل، لأنه بالنسبة لجميع a≠b aRb وbRa غير راضين في وقت واحد؛
• متعدية، لأنه إذا كان أ هو رئيس ب و ب هو رئيس ج، فإن أ هو رئيس ج.

تحديد خصائص العلاقة R i المحددة في المجموعة M i بواسطة المصفوفة إذا:

1. R 1 "يكون له نفس الباقي عند القسمة على 5"؛ M 1 هي مجموعة الأعداد الطبيعية.
2. R 2 "أن نكون متساوين" ؛ M2 هي مجموعة الأعداد الطبيعية.
3. R 3 "العيش في نفس المدينة" ؛ م 3 الكثير من الناس.
4. ص 4 "أن يكون مألوفا" ؛ م 4 الكثير من الناس.
5. R 5 ((a,b):(a-b) - زوجي؛ M 5 مجموعة من الأرقام (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
6. R 6 ((a,b):(a+b) - زوجي؛ M 6 مجموعة من الأرقام (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
7. ر 7 ((أ,ب):(أ+1) - المقسوم عليه (أ+ب)) ; م 7 - مجموعة (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
8. R 8 ((a,b):a - المقسوم عليه (a+b),a≠1); م8 هي مجموعة الأعداد الطبيعية.
9. ص 9 "أن تكون أختاً" ؛ م9- كثرة الناس.
10. ر10 "أن تكون ابنة"؛ م10- كثير من الناس.

العمليات على العلاقات الثنائية

دع R 1، R 1 تكون علاقات محددة في المجموعة A.

اتحاد R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 أو (a,b) ∈ R 2 ) ;

تداخل R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 و (a,b) ∈ R 2 ) ;

اختلاف R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 و (a,b) ∉ R 2 ) ;

موقف عالمي U: = ((أ؛ب)/أ ∈ أ & ب ∈ أ). ;

إضافة R 1 U \ R 1، حيث U = A × A؛

علاقة متطابقةأنا: = ((أ؛أ) / أ ∈ أ)؛

علاقة عكسيةص -1 1 : ص -1 1 = ((أ,ب) : (ب,أ) ∈ R 1 );

تعبير R 1 ° R 2: R 1 ° R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b)، حيث R 1 ⊂ A × C و R 2 ⊂ج×ب؛

تعريف. درجة العلاقة R في المجموعة A هو تكوينها مع نفسها.

تعيين:

تعريف. إذا كان R ⊂ A × B، فسيتم استدعاء R º R -1 نواة العلاقة R .

نظرية 3.1.دع R ⊂ A × A تكون علاقة محددة في المجموعة A.

1. تكون R انعكاسية إذا وفقط إذا (فيما يلي تم استخدام الإشارة ⇔) عندما تكون I ⊂ R.
2. R متماثل ⇔ R = R -1.
3. R متعدية ⇔ R ° R ⊂ R
4. R غير متماثل ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
5. R مضاد للانعكاس ⇔ R ⌒ I = ∅ .

المشكلة 3.4 . اجعل R هي العلاقة بين المجموعتين (1,2,3) و (1,2,3,4)، معطاة من خلال سرد الأزواج: R = ((1,1)، (2،3)، (2، 4)، (3.1)، (3.4)). بالإضافة إلى ذلك، S هي العلاقة بين المجموعات S = ((1،1)، (1،2)، (2،1)، (3،1)، (4،2)). احسب R -1 و S -1 و S º R. تأكد من أن (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

حل.
R -1 = ((1,1)، (1،3)، (3،2)، (4،2)، (4،3))؛
S -1 = ((1,1)، (1,2)، (1,3)، (2,1)، (2,4))؛
S ° R = ((1,1)، (1،2)، (2،1)، (2،2)، (3،1)، (3،2))؛
(S ° R) -1 = ((1,1)، (1,2)، (1,3)، (2,1)، (2,2)، (2,3))؛
R -1° S -1 = ((1,1)، (1,2)، (1,3)، (2,1)، (2,2)، (2,3)) = (S ° R ) -1 .

المشكلة 3.5 . اجعل R هي العلاقة "...الوالد..." وS هي العلاقة "...الأخ..." في مجموعة جميع الأشخاص. أعط وصفًا شفهيًا مختصرًا للعلاقة:

R -1 , S -1 , R° S , S -1° R -1 و R° R .

حل.

R -1 - العلاقة "... طفل..."؛

S -1 - العلاقة "...أخ أو أخت..."؛

R° S - العلاقة "...الوالد..."؛

S -1 ° R -1 - العلاقة "... طفل..."

R ° R - العلاقة "... الجدة أو الجد ..."

مشاكل لحلها بشكل مستقل

1) اجعل R هي العلاقة "... الأب..." وS هي العلاقة "... الأخت..." في مجموعة جميع الأشخاص. إعطاء وصف لفظي للعلاقة:

R -1 , S -1 , R° S, S -1 ° R -1 , R° R.

2) اجعل R هي العلاقة "...أخ..." وS هي العلاقة "...الأم..." في مجموعة جميع الأشخاص. إعطاء وصف لفظي للعلاقة:

R -1 , S -1 , S ْ R , R -1 ْ S -1 , S ْ S .

3) اجعل R هي العلاقة "... الجد..." وS هي العلاقة "... الابن..." في مجموعة جميع الأشخاص. إعطاء وصف لفظي للعلاقة:

4) اجعل R هي العلاقة "...الابنة..." وS هي العلاقة "...الجدة..." في مجموعة جميع الأشخاص. إعطاء وصف لفظي للعلاقة:

5) اجعل R هي العلاقة "... ابنة..." وS هي العلاقة "... الأب..." في مجموعة جميع الأشخاص. إعطاء وصف لفظي للعلاقة:

R -1 , S -1 , S ْ R , R -1 ْ S -1 , R ْ ْ R .

6) اجعل R هي العلاقة "الأخت..." وS هي العلاقة "الأم..." في مجموعة جميع الأشخاص. إعطاء وصف لفظي للعلاقة:

R -1 , S -1 , R° S, S -1 ° R -1 , S ° S.

7) اجعل R هي العلاقة "... الأم..." وS هي العلاقة "... الأخت..." في مجموعة جميع الأشخاص. إعطاء وصف لفظي للعلاقة:

R -1 , S1, R° S, S1 ° R1, S ° S.

8) اجعل R هي العلاقة "...الابن..." وS هي العلاقة "...الجد..." في مجموعة جميع الأشخاص. إعطاء وصف لفظي للعلاقة:

R -1 , S -1 , S ْ R , R -1 ْ S -1 , R ْ ْ R .

9) اجعل R هي العلاقة "...أخت..." وS هي العلاقة "... الأب..." في مجموعة جميع الأشخاص. إعطاء وصف لفظي للعلاقة:

R -1 , S -1 , R° S, S -1 ° R -1 , S ° S.

10) اجعل R هي العلاقة "...الأم..." وS هي العلاقة "...الأخ..." في مجموعة جميع الأشخاص. إعطاء وصف لفظي للعلاقة:

R -1 , S -1 , S ْ R , R -1 ْ S -1 , R ْ ْ R .

التعريفات ذات الصلة

خصائص العلاقات

العلاقات الثنائية يمكن أن يكون لها خصائص مختلفة، مثل

أنواع العلاقات

• تسمى العلاقة الانتقالية الانعكاسية علاقة شبه ترتيبية.
• وتسمى العلاقة المتعدية المتماثلة الانعكاسية بعلاقة التكافؤ.
• وتسمى العلاقة المتعدية الانعكاسية غير المتماثلة بعلاقة ترتيبية (جزئية).
• وتسمى العلاقة المتعدية المضادة للانعكاس وغير المتماثلة بعلاقة ترتيب صارمة.
• تسمى العلاقة المتعدية الكاملة (لأي x أو y xRy أو yRx) علاقة متعدية بعلاقة ترتيب خطية.
• تسمى العلاقة غير المتماثلة المضادة للانعكاس بعلاقة الهيمنة.

أنواع العلاقات المزدوجة

• الموقف العكسي [تحديد] (العلاقة العكسية لـ R) هي علاقة ثنائية تتكون من أزواج من العناصر (y, x) يتم الحصول عليها عن طريق تبديل أزواج العناصر (x, y) لعلاقة معينة R. يُشار إليها بـ: R −1. لهذه العلاقة وعكسها تكون المساواة التالية صحيحة: (R −1) −1 = R.
• العلاقات المتبادلة(العلاقات المتبادلة) - العلاقات التي تكون عكسية لبعضها البعض. نطاق قيم أحدهما بمثابة نطاق تعريف الآخر، ونطاق تعريف الأول بمثابة نطاق قيم الآخر.
• موقف عاكس- علاقة ثنائية R محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه بالنسبة لأي x من هذه المجموعة، يكون العنصر x في علاقة R بنفسه، أي بالنسبة لأي عنصر x في هذه المجموعة يحمله xRx. أمثلة على العلاقات الانعكاسية: المساواة، التزامن، التشابه.
• موقف مضاد للانعكاس(علاقة غير انعكاسية، لاحظ أنه مثلما لا يتزامن عدم التماثل مع عدم التماثل، فإن عدم الانعكاس لا يتزامن مع عدم الانعكاس.) - علاقة ذات مكانين R محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه لأي عنصر x من هذه المجموعة ليس صحيحًا أنه في العلاقة R مع نفسه (ليس صحيحًا أن xRx)، أي أنه من الممكن ألا يكون عنصر من المجموعة في علاقة R مع نفسه. أمثلة على المواقف غير التأملية: "اعتني"، "استمتع"، "العصبية".
• علاقة متعدية- علاقة ذات مكانين R، محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه بالنسبة لأي x وy وz من هذه المجموعة، فإن xRy وyRz يشيران إلى xRz (xRy&yRzxRz). أمثلة على العلاقات المتعدية: "أكثر"، "أقل"، "مساوي"، "مشابه"، "فوق"، "شمال".
• علاقة متعدية [تحديد] - علاقة ثنائية R محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه بالنسبة لأي x وy وz من هذه المجموعة xRy وyRz لا تتضمن xRz ((xRy&yRzxRz)). مثال على علاقة لازمة: "x هو والد y"
• علاقة متماثلة- علاقة ذات مكانين R، محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه لأي عنصر x و y من هذه المجموعة، من حقيقة أن x إلى y في العلاقة R (xRy)، يترتب على ذلك أن y موجود في نفس العلاقة مع x (yRx). ومن الأمثلة على العلاقات المتماثلة المساواة (=)، وعلاقة التكافؤ، والتشابه، والتزامن، وبعض علاقات القرابة (على سبيل المثال، علاقة الأخوة).
• علاقة غير متماثلة- علاقة ذات مكانين R، محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه لأي x و y من xRy و xR −1 y يتبع x = y (أي أن R و R −1 يتم استيفاءهما في وقت واحد فقط للأعضاء الذين هم متساوون مع بعضهم البعض).
• علاقة غير متكافئة [تحديد] هي علاقة ذات مكانين R، محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه بالنسبة لأي x وy، xRy يعني yRx. مثال: العلاقة بين "أكثر من" (>) و"أقل من" (<).
• علاقة التكافؤ(علاقة الهوية [ تحديد]، علاقة نوع المساواة) هي علاقة ذات مكانين R بين الكائنات x و y في مجال الموضوع D، مما يلبي البديهيات (الشروط) التالية: وبالتالي، فإن علاقة نوع المساواة هي في نفس الوقت انعكاسية ومتماثلة ومتعدية. أمثلة: المساواة، والعدد المتساوي لمجموعتين، وقابلية تبادل السلع في السوق، والتشابه، والتزامن. مثال على علاقة تحقق البديهية (3)، ولكنها لا تلبي البديهيات (1) و (2): "المزيد".
• علاقات النظام- العلاقات التي تحتوي فقط على بعض الخصائص الثلاث لعلاقة التكافؤ. على وجه الخصوص، تشكل العلاقة الانعكاسية والمتعدية، ولكنها غير متماثلة (على سبيل المثال، "لا أكثر") نظامًا "متساهلاً". العلاقة متعدية، ولكنها غير انعكاسية وغير متماثلة (على سبيل المثال، "أقل من") - ترتيب "صارم".
• وظيفة- علاقة مزدوجة ر، محددة على مجموعة معينة، وتتميز بذلك لكل قيمة سعلاقة xRy ذ. مثال: " ذأب س" خاصية وظيفة العلاقة رهو مكتوب كبديهية :( xRyو xRz)→(ذ≡ض). منذ كل قيمة سفي التعبيرات xRyو xRzيتوافق مع نفس القيمة، ثم ذو ضتتزامن، تتحول إلى أن تكون هي نفسها. العلاقة الوظيفية فريدة من نوعها، حيث أن كل قيمة x لها علاقة xRyيتوافق مع قيمة واحدة فقط ذ، ولكن ليس العكس.
• الاعتراض(علاقة مكان واحد) - علاقة مكانين ر، محددة على مجموعة معينة، تتميز بأن كل قيمة x فيها تتوافق مع قيمة واحدة في، وكل قيمة فييطابق قيمة واحدة X. العلاقة بين شخصين هي حالة خاصة من العلاقات بين شخصين.
• علاقة ذات صلة- هذه علاقة ذات مكانين ر، محددة على مجموعة معينة، تتميز بأنها لأي عنصرين مختلفين Xو فيمن هذه المجموعة، واحد منهم في العلاقة رإلى أخرى (أي أن إحدى العلاقتين راضية: xRyأو yRx). مثال: العلاقة "أقل من" (<).

العمليات على العلاقات

نظرًا لأن العلاقات المحددة على زوج ثابت من المجموعات، هي مجموعات فرعية من المجموعة، فإن مجموعة كل هذه العلاقات تشكل جبرًا منطقيًا فيما يتعلق بعمليات الاتحاد والتقاطع وإضافة العلاقات. على وجه الخصوص، للتعسف

وفي كثير من الأحيان، بدلاً من تجميع العلاقات وتقاطعها وتكاملها، يتحدثون عن انفصالها وارتباطها ونفيها.

على سبيل المثال، أي أن اتحاد علاقة النظام الصارمة مع علاقة المساواة يتزامن مع علاقة النظام غير الصارمة، وتقاطعهما فارغ.

بالإضافة إلى تلك المذكورة، فإن عمليات قلب وضرب العلاقات، المحددة على النحو التالي، مهمة أيضًا.

إذا، فإن العلاقة العكسية هي علاقة محددة على الزوج وتتكون من تلك الأزواج التي. على سبيل المثال، .

دع الآن، . نتاج العلاقات هو علاقة من هذا القبيل

إذا و و، فإن ناتج العلاقات غير محدد. إذا نظرنا إلى العلاقات المحددة على مجموعة معينة، فإن مثل هذا الموقف لا ينشأ.

على سبيل المثال، فكر في علاقة ذات ترتيب صارم محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية. من السهل ملاحظة ذلك

العلاقات الثنائية تسمى التبادلية إذا . من السهل أن نرى أنه بالنسبة لأي علاقة ثنائية محددة على، حيث يشير الرمز إلى المساواة المحددة على. ومع ذلك، فإن المساواة ليست عادلة دائمًا.

تحمل الهويات التالية:

لاحظ أن نظائر الهويتين الأخيرتين لا تصمد.

يمكن تحديد بعض خصائص العلاقة باستخدام عمليات العلاقة:

أنظر أيضا

الأدب

• أ. مالتسيف.الأنظمة الجبرية. - م: العلوم، 1970.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

- مسند ذو مكانين على مجموعة معينة. تحت B.o. تُفهم أحيانًا على أنها مجموعة فرعية من مجموعة الأزواج المرتبة (أ، 6) من عناصر مجموعة معينة من A. B. o. حالة خاصة من العلاقة. اسمحوا ان. إذا، يقال أن العنصر موجود في النظام الثنائي... ... الموسوعة الرياضية

في المنطق، شيء، على عكس الخاصية، لا يميز كائنًا فرديًا، بل زوجًا، أو ثلاثة، وما إلى ذلك. أغراض. المنطق التقليدي لم يأخذ بعين الاعتبار O.؛ في المنطق الحديث O. هي دالة افتراضية لمتغيرين أو أكثر. الثنائية... الموسوعة الفلسفية

سلوك- العلاقة هي مجموعة من الأفراد مرتبة n (حيث n هو 1)، أي. ثنائي، ثلاثي، إلخ. يُطلق على الرقم n اسم "المحلية"، أو "arity"، O. وبالتالي، يتحدثون عن n محلي (n arno) O. لذلك، على سبيل المثال، يُسمى الرقم المزدوج O.... ... موسوعة نظرية المعرفة وفلسفة العلوم

في نظرية المستهلك، هذا وصف رسمي لقدرة المستهلك على مقارنة (الترتيب حسب الرغبة) مجموعات مختلفة من السلع (حزم الاستهلاك). لوصف علاقة التفضيل، ليس من الضروري قياس الرغبة... ... ويكيبيديا

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر الموقف. العلاقة هي بنية رياضية تحدد بشكل رسمي خصائص الكائنات المختلفة والعلاقات بينها. يتم تصنيف العلاقات عادةً حسب عدد الكائنات المرتبطة... ويكيبيديا

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر الموقف. علاقة في منطق الدرجة الأولى لمسندين أو أكثر من المسندات (مسندات متعددة)، أو اثنين أو أكثر من خصائص المسند. علامة العلاقة: ر.[حدد] فيما يتعلق بالعلاقات... ... ويكيبيديا، A. I. شيروكوف. الدليل هو الجزء السابع من قسم "الإنشاءات النظرية الأساسية للمجموعات" من التخصص الأكاديمي "الرياضيات المنفصلة". ويقدم ويحلل مثل هذه ... الكتاب الاليكتروني

محاضرة 3.

البند 3. العلاقات على مجموعات. خصائص العلاقات الثنائية.

3.1. العلاقات الثنائية.

عندما يتحدثون عن العلاقة بين شخصين، على سبيل المثال، سيرجي وآنا، فإنهم يقصدون أن هناك عائلة معينة ينتمون إليها. يختلف الزوج المرتب (سيرجي، آنا) عن الأزواج المرتبة الأخرى من الأشخاص في وجود نوع من العلاقة بين سيرجي وآنا (ابن العم، الأب، وما إلى ذلك).

في الرياضيات، بين جميع الأزواج المرتبة للناتج المباشر لمجموعتين أو ب (أ´ ب) تتميز الأزواج "الخاصة" أيضًا بحقيقة وجود بعض علاقات "القرابة" بين مكوناتها والتي لا يمتلكها الآخرون. على سبيل المثال، النظر في المجموعة سطلاب بعض الجامعات والكثير كالدورات التي تدرس هناك. في منتج مباشر س´ كيمكن للمرء اختيار مجموعة فرعية كبيرة من الأزواج المرتبة ( س, ك) وجود الخاصية : طالب سيأخذ دورة ك. تعكس المجموعة الفرعية التي تم إنشاؤها العلاقة "...يستمع..." التي تنشأ بشكل طبيعي بين مجموعات الطلاب والمقررات الدراسية.

للحصول على وصف رياضي صارم لأي اتصالات بين عناصر مجموعتين، نقدم مفهوم العلاقة الثنائية.

التعريف 3.1. الثنائية (أو مزدوج )سلوك صبين مجموعات أو بيتم استدعاء مجموعة فرعية تعسفية أ´ ب، أي.

على وجه الخصوص، إذا أ=ب(أي ري أ 2)، ثم يقولون أن r هي علاقة على المجموعة أ.

عناصر أو بوتسمى عناصر (أو الإحداثيات ) العلاقة ص.

تعليق. دعونا نتفق على أنه للإشارة إلى العلاقات بين عناصر المجموعات، استخدم الأبجدية اليونانية: r، t، j، s، w، إلخ.

التعريف 3.2. مجال التعريف دص =( أ| $ ب، ماذا أص ب) (الجهه اليسرى). مدى من القيم العلاقة الثنائية r تسمى المجموعة رص =( ب| $ أ، ماذا أص ب) (الجزء الأيمن).

مثال 3. 1. دع مجموعتين تعطى أ=(1; 3; 5; 7) و ب=(2; 4; 6). دعونا نضع العلاقة على النحو التالي t=(( س; ذ)Î أ´ ب | س+ذ=9). ستتكون هذه العلاقة من الأزواج التالية (3؛ 6)، (5؛ 4) و (7؛ 2)، والتي يمكن كتابتها بالشكل t=((3; 6)، (5; 4)، (7;2). )). في هذا المثال در=(3; 5; 7) و رر= ب={2; 4; 6}.

مثال 3. 2. علاقة المساواة في مجموعة الأعداد الحقيقية هي المجموعة r=(( س; ذ) | سو ذ- الأعداد الحقيقية و سيساوي ذ). هناك ملاحظة خاصة لهذه العلاقة: "=". مجال التعريف يتطابق مع مجال القيم وهو مجموعة الأعداد الحقيقية، دص = رص.

مثال 3. 3. يترك أ- الكثير من البضائع في المتجر، و ب– مجموعة الأعداد الحقيقية . ثم ي=(( س; ذ)Î أ´ ب | ذ- سعر س) - علاقة المجموعات أو ب.

إذا انتبهت إلى المثال 3.1، ستلاحظ أن هذه العلاقة تم تحديدها لأول مرة في النموذج t=(( س; ذ)Î أ´ ب | س+ذ=9)، ثم تكتب كـ t=((3; 6)، (5;4)، (7;2)). يشير هذا إلى أنه يمكن تحديد العلاقات على المجموعات (أو مجموعة واحدة) بطرق مختلفة. دعونا ننظر في طرق تحديد العلاقات الثنائية.

طرق تحديد العلاقات:

1) استخدام المسند المناسب؛

2) مجموعة من الأزواج المرتبة.

3) في شكل رسومي: دع أو ب- مجموعتان محدودتان و r - علاقة ثنائية بينهما. يتم تمثيل عناصر هذه المجموعات بنقاط على المستوى. لكل زوج مرتب من العلاقات، يرسم r سهمًا يصل بين النقاط التي تمثل مكونات الزوج. يسمى مثل هذا الكائن مخطط موجهأو ديغراف، تسمى عادة النقاط التي تمثل عناصر المجموعات رؤوس الرسم البياني.

4) على شكل مصفوفة : دع أ={أ 1, أ 2, …, ان) و ب={ب 1, ب 2, …, بي ام)، ص - نسبة على أ´ ب. تمثيل المصفوفة r يسمى مصفوفة م=[mij] مقاس ن´ م، التي تحددها العلاقات

.

بالمناسبة، تمثيل المصفوفة هو تمثيل للعلاقة في الكمبيوتر.

مثال 3. 4. دع مجموعتين تعطى أ=(1; 3; 5; 7)و ب=(2; 4; 6). يتم إعطاء العلاقة على النحو التالي t=(( س; ذ) | س+ذ=9). حدد هذه العلاقة كمجموعة من الأزواج المرتبة، digraph، على شكل مصفوفة.

حل. 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - هو تعريف العلاقة كمجموعة من الأزواج المرتبة؛

2) يظهر الرسم البياني الموجه المقابل في الشكل.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

مثال 3. 5 . على سبيل المثال، يمكننا أن ننظر في المقترح جيه فون نيومان(1903 – 1957) رسم تخطيطي للحاسوب المتسلسل الذي يتكون من العديد من الأجهزة م:

,

أين أ- جهاز الإدخال، ب- الجهاز الحسابي (المعالج)، ج- جهاز التحكم، د- جهاز الذاكرة، ه- جهاز إخراج.

دعونا نفكر في تبادل المعلومات بين الأجهزة miو إم جي، والتي هي فيما يتعلق ص إذا من الجهاز miتدخل المعلومات إلى الجهاز إم جي.

يمكن تعريف هذه العلاقة الثنائية من خلال سرد جميع أزواج العناصر الأربعة عشر المرتبة:

يتم عرض الرسم البياني المقابل الذي يحدد هذه العلاقة الثنائية في الشكل:

تمثيل المصفوفة لهذه العلاقة الثنائية هو:

. ,

بالنسبة للعلاقات الثنائية، يتم تعريف عمليات المجموعة النظرية بالطريقة المعتادة: الاتحاد والتقاطع وما إلى ذلك.

دعونا نقدم مفهوما عاما للعلاقة.

التعريف 3.3. مكان ن (ن-آري ) العلاقة r هي مجموعة فرعية من المنتج المباشر نمجموعات، أي مجموعة من المجموعات المرتبة ( الصفوف )

rÍ أ 1 ان={(أ 1, …, ان)| أ 1O أ 1Ù…Ù انÎ ان}

من الملائم تحديد العلاقات متعددة الأماكن باستخدام الجداول العلائقية . تتوافق هذه المهمة مع تعداد المجموعة ن-إلى العلاقة ص. تستخدم الجداول العلائقية على نطاق واسع في ممارسة الكمبيوتر في قواعد البيانات العلائقية. لاحظ أن الجداول العلائقية تستخدم في الممارسة اليومية. غالبًا ما تأخذ جميع أنواع التقارير الإنتاجية والمالية والعلمية وغيرها شكل جداول علائقية.

كلمة " العلائقية"يأتي من الكلمة اللاتينية علاقةوالتي تُترجم إلى اللغة الروسية تعني "الموقف". لذلك، في الأدب، يتم استخدام الرسالة للدلالة على العلاقة ر(لاتينية) أو ص (يونانية).

التعريف 3.4.دع ري أ´ بهناك موقف تجاه أ´ ب.ثم تسمى النسبة r-1 علاقة عكسية إلى نسبة معينة ص بواسطة أ´ ب، والتي تم تعريفها على النحو التالي:

ص-1=(( ب, أ) | (أ, ب)Îr).

التعريف 3.5.اسمحوا ص Н أ´ بهناك موقف تجاه أ´ ب،أ س ح ب´ ج –الموقف ب´ ج. تعبيرعلاقات s و r تسمى العلاقة t Н أ´ ج، والتي تم تعريفها على النحو التالي:

ر=s◦r= (( أ, ج)| $بÎ ب، ماذا (أ, ب)Îr و (ب, ج)يكون).

مثال 3. 6 . دع و ج=(،!، د، أ). ولتكن النسبة r أ´ بوالنسبة على ب´ جوترد في النموذج:

ص = ((1، س), (1, ذ), (3, س)};

ق=(( س,), (س, !), (ذ، د)، ( ذ, à)}.

ابحث عن r-1 وs◦r، r◦s.

حل. 1) حسب التعريف r-1=(( س, 1), (ذ, 1), (س, 3)};

2) باستخدام تعريف تكوين علاقتين نحصل على

s◦r=((1,), (1,!), (1, د), (1, а), (3,), (3,!)),

منذ (1، س)Îr و ( س,)Îs يتبع (1,)Îs◦r;

من 1، س)Îr و ( س, !)Îs يتبع (1,!)Îs◦r;

من 1، ذ)Îr و ( ذ، د)Îs يلي (1، د)Îs◦r؛

من (3، س)Îr و ( س، !)Îs يلي (3،!)Îs◦r.

نظرية 3.1.لأي علاقات ثنائية تحمل الخصائص التالية:

2) ;

3) - ترابط التكوين.

دليل.الخاصية 1 واضحة.

دعونا نثبت الخاصية 2. لإثبات الخاصية الثانية، سنبين أن المجموعات المكتوبة على الجانبين الأيسر والأيمن من المساواة تتكون من نفس العناصر. يترك ( أ; ب) О (s◦r)-1 Û ( ب; أ) О s◦r Û $ جمثل ذلك ( ب; ج) يا ص و ( ج; أ) О s Û $ جمثل ذلك ( ج; ب) О ص-1 و ( أ; ج) О s-1 Ш ( أ; ب) О r -1◦s -1.

اثبت الخاصية 3 بنفسك

3.2. خصائص العلاقات الثنائية.

دعونا ننظر في الخصائص الخاصة للعلاقات الثنائية في المجموعة أ.

خصائص العلاقات الثنائية.

1. نسبة ص على أ´ أمُسَمًّى عاكس ، لو ( أ,أ) ينتمي إلى r للجميع أمن أ.

2. تسمى العلاقة r مضادة للانعكاس ، إذا من ( أ,ب)Îr يتبع أ¹ ب.

3. نسبة ص بشكل متماثل ، إذا ل أو بينتمي إلى أ، من ( أ,ب) ويترتب على ذلك ( ب,أ)Îr.

4. تسمى العلاقة r غير متماثل ، إذا ل أو بمن أ، من الانتماء ( أ,ب) و ( ب,أ) العلاقة r تعني ذلك أ=ب.

5. نسبة ص بشكل متعد ، إذا ل أ, بو جمن أمن حقيقة أن ( أ,ب)Îr و ( ب,ج) Îr، ويترتب على ذلك ( أ,ج)Îr.

مثال 3. 7. يترك أ=(1; 2; 3; 4; 5; 6). في هذه المجموعة يتم إعطاء العلاقة rÍ أ 2، والتي لها الشكل: r=((1, 1)، (2، 2)، (3، 3)، (4؛ 4)، (5؛ 5)، (6؛ 6)، (1؛ 2) ) ، (1 ؛ 4) ، (2 ؛ 1) ، (2 ؛ 4) ، (3 ؛ 5) ، (5 ؛ 3) ، (4 ؛ 1) ، (4 ؛ 2)). ما هي الخصائص التي تمتلكها هذه العلاقة؟

حل. 1) هذه العلاقة انعكاسية إذ لكل منهما أÎ أ, (أ; أ)Îr.

2) العلاقة ليست مضادة للانعكاس، لأن شرط هذه الخاصية غير مستوفي. على سبيل المثال، (2، 2)Îr، لكن هذا لا يعني أن 2¹2.

3) النظر في جميع الحالات الممكنة، التي تبين أن العلاقة r متماثلة:

	(أ, ب)Îr	(ب, أ)	(ب, أ)Îr؟

4) هذه العلاقة ليست غير متماثلة، حيث أن (1، 2)Îr و (2،1)Îr، ولكن لا يترتب على ذلك أن 1=2.

5) من الممكن إثبات أن العلاقة r متعدية باستخدام طريقة التعداد المباشر.

	(أ, ب)Îr	(ب, ج)Îr	(أ, ج)	(أ, ج)Îr؟

كيفية استخدام تمثيل المصفوفة

تحديد خصائص العلاقة الثنائية

1. الانعكاسية:جميع الآحاد موجودة على القطر الرئيسي، ويتم الإشارة إلى الأصفار أو الآحاد بعلامات النجمة.

.

2. مكافحة الانعكاسية:جميع الأصفار على القطر الرئيسي.

3. التماثل:لو .

4. عدم التماثل:جميع العناصر خارج القطر الرئيسي هي صفر؛ قد يكون هناك أيضًا أصفار على القطر الرئيسي.

.

يتم تنفيذ العملية "*" وفقًا للقاعدة التالية: ، أين ، .

5. العبورية:لو . تتم العملية "◦" حسب قاعدة الضرب المعتادة، ومن الضروري مراعاة ما يلي: .

3.3 علاقة التكافؤ. علاقة النظام الجزئي.

علاقة التكافؤ هي إضفاء الطابع الرسمي على الموقف عندما نتحدث عن التشابه (التشابه) بين عنصرين في المجموعة.

التعريف 3.6.نسبة ص على أهنالك علاقة التكافؤ, لو أنه انعكاسية ومتماثلة ومتعدية.علاقة التكافؤ أص بيشار إليها في كثير من الأحيان: أ~ ب.

مثال 3. 8 . علاقة المساواة على مجموعة الأعداد الصحيحة هي علاقة تكافؤ.

مثال 3. 9 . علاقة "نفس الارتفاع" هي علاقة تكافؤ على مجموعة من الأشخاص X.

مثال 3. 1 0 . دع ¢ تكون مجموعة الأعداد الصحيحة. دعونا نسمي رقمين سو ذمن ™ قابلة للمقارنة في المعاملم(مО¥) واكتب إذا كان باقي هذه الأعداد بعد القسمة عليها م، أي الفرق ( س-ذ) مقسمة على م.

العلاقة "قابلة للمقارنة في المعامل مالأعداد الصحيحة" هي علاقة تكافؤ في مجموعة الأعداد الصحيحة ¢. بالفعل:

هذه العلاقة انعكاسية، لأنه " س¤ لدينا س-س=0 وبالتالي يقبل القسمة على م;

هذه العلاقة متناظرة لأنه إذا ( س-ذ) مقسمة على م، ثم ( ذ-س) قابل للقسمة أيضًا م;

هذه العلاقة متعدية لأنه إذا ( س-ذ) مقسمة على م، ثم لبعض الأعداد الصحيحة ر 1 لدينا https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width = "73" height = "24 src = ">، من هنا ، أي. ( س-ض) مقسمة على م.

التعريف 3.7.نسبة ص على أهنالك علاقة ترتيب جزئية, لو أنه انعكاسية وغير متماثلة ومتعديةويشار إليه بالرمز °.

يعد الترتيب الجزئي مهمًا في المواقف التي نريد فيها تمييز الأسبقية بطريقة أو بأخرى. بمعنى آخر، قرر تحت أي ظروف تعتبر عنصرًا واحدًا من المجموعة متفوقًا على عنصر آخر.

مثال 3. 11 . سلوك س£ ذتوجد علاقة ترتيبية جزئية على مجموعة الأعداد الحقيقية. ,

مثال 3. 1 2 . في مجموعة المجموعات الفرعية لبعض المجموعات العالمية شسلوك أÍ بهناك علاقة ترتيب جزئية.

مثال 3. 1 3 . مخطط تنظيم التبعية في مؤسسة ما هو علاقة نظام جزئي في مجموعة من المواقف.

النموذج الأولي لعلاقة الترتيب الجزئي هو المفهوم البديهي لعلاقة التفضيل (الأسبقية). تحدد علاقة التفضيل فئة من المشكلات التي يمكن دمجها كـ مشكلة مشكلة الاختيار أفضل كائن .

صياغة المشكلة:فليكن هناك مجموعة من الكائنات أويلزم مقارنتها حسب التفضيل، أي ضبط علاقة التفضيل على المجموعة أوتحديد أفضل الأشياء.

علاقة التفضيل ص، والتي يمكن تعريفها بأنها " aPb, أ, بÎ أÛ كائن أليس أقل تفضيلاً من الكائن ب"هو انعكاسي وغير متماثل في المعنى (كل كائن ليس أسوأ من نفسه، وإذا كان الكائن أليس أسوأ بو بليس أسوأ أفإنهما في الأفضلية سواء). ومن الطبيعي أن نفترض أن العلاقة صبشكل متعد (على الرغم من أنه في حالة مناقشة التفضيلات، على سبيل المثال، من قبل مجموعة من الأشخاص ذوي المصالح المتعارضة، فقد يتم انتهاك هذه الخاصية)، أي. ص- علاقة ترتيب جزئية.

إحدى الطرق الممكنة لحل مشكلة مقارنة الكائنات حسب التفضيل هي تتراوح أي ترتيب الأشياء وفقًا لتناقص التفضيل أو التكافؤ. ونتيجة للتصنيف، فإننا نحدد الكائنات "الأفضل" أو "الأسوأ" من وجهة نظر علاقة التفضيل.

مجالات الاستخدام مشاكل حول مشكلة اختيار أفضل كائن: نظرية القرار، الرياضيات التطبيقية، التكنولوجيا، الاقتصاد، علم الاجتماع، علم النفس.

يمكن أن تحتوي العلاقة المحددة في مجموعة على عدد من الخصائص، وهي:

2. الانعكاسية

تعريف.سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xويسمى انعكاسيا إذا كان كل عنصر Xمجموعات Xفي علاقة رمع نفسي.

وباستخدام الرموز يمكن كتابة هذه العلاقة على النحو التالي:

ربشكل عاكس على X Û(" XÎ X) س ر س

مثال.علاقة المساواة على مجموعة من القطاعات هي علاقة انعكاسية، لأن كل قطعة تساوي نفسها.

يحتوي الرسم البياني للعلاقة الانعكاسية على حلقات في جميع القمم.

2. مضاد للانعكاس

تعريف.سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xويسمى مضاد للانعكاس إذا لم يكن هناك عنصر Xمجموعات Xليس فيما يتعلق رمع نفسي.

رالمضادة للانعكاس على X Û(" XÎ X)

مثال.العلاقة المباشرة Xعمودي على خط مستقيم في» على مجموعة الخطوط المستقيمة للطائرة هو مضاد للانعكاس، لأن لا يوجد خط مستقيم في المستوى عمودي على نفسه.

لا يحتوي الرسم البياني للموقف المضاد للانعكاس على حلقة واحدة.

لاحظ أن هناك علاقات ليست انعكاسية ولا مضادة للانعكاس. على سبيل المثال، النظر في العلاقة "نقطة Xمتناظرة لهذه النقطة في"على مجموعة من النقاط على المستوى.

نقطة Xمتناظرة لهذه النقطة X- حقيقي؛ نقطة فيمتناظرة لهذه النقطة في- خطأ، لذلك لا يمكننا أن ندعي أن جميع نقاط المستوى متماثلة مع نفسها، كما لا يمكننا أن ندعي أنه لا توجد نقطة واحدة من المستوى متماثلة مع نفسها.

3. تناظر

تعريف. سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xويسمى متماثل إذا، من حقيقة أن العنصر Xفي علاقة رمع العنصر فيويترتب على ذلك العنصر فيفي علاقة رمع العنصر X.

رمتماثل X Û(" X, فيÎ X) × ص ص Þ ذ ر س

مثال.العلاقة المباشرة Xيتقاطع مع خط فيعلى مجموعة الخطوط المستقيمة للمستوى" متماثل، لأن إذا كان مستقيما Xيتقاطع مع خط في، ثم السطر فيسوف يعبر الخط بالتأكيد X.

رسم بياني لعلاقة متماثلة مع كل سهم من نقطة ما Xبالضبط فييجب أن يحتوي على سهم يصل بين نفس النقاط، ولكن في الاتجاه المعاكس.

4. عدم التماثل

تعريف. سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xويسمى غير متماثل إذا لم يكن هناك عناصر X, فيمن العديد Xلا يمكن أن يحدث هذا العنصر Xفي علاقة رمع العنصر فيوالعنصر فيفي علاقة رمع العنصر X.

رغير متماثل X Û(" X, فيÎ X) × ص ص Þ

مثال.سلوك " X < في» بشكل غير متماثل، لأن لأي زوج من العناصر X, فيلا يمكن أن نقول ذلك في نفس الوقت X < فيو في<X.

لا يحتوي الرسم البياني للعلاقات غير المتماثلة على حلقات، وإذا كان رأسان من الرسم البياني متصلين بسهم، فسيكون هناك سهم واحد فقط.

5. عدم التماثل

تعريف. سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xويسمى غير متماثل إذا، من حقيقة ذلك Xعلى علاقة مع في، أ فيعلى علاقة مع Xيتبع ذلك X = ش.

رغير متماثل X Û(" X, فيÎ X) × ص ص Ù ذ ر سÞ س = ص

مثال.سلوك " X£ في» بشكل غير متماثل، لأن شروط X£ فيو في£ Xيتم تنفيذها في وقت واحد فقط عندما X = ش.

يحتوي الرسم البياني للعلاقات غير المتماثلة على حلقات، وإذا كان رأسان من الرسم البياني متصلين بسهم، فسيكون هناك سهم واحد فقط.

6. العبورية

تعريف. سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xويسمى متعدية إذا لأية عناصر X, في, ضمن العديد Xمن ماذا Xعلى علاقة مع في، أ فيعلى علاقة مع ضيتبع ذلك Xعلى علاقة مع ض.

رمتعدية X Û(" X, في, ضÎ X) × ص ص Ù ذ ر ضÞ س ر ض

مثال.سلوك " Xعديد في» متعدية، لأن إذا كان الرقم الأول من مضاعفات الثاني، والثاني من مضاعفات الثالث، فإن الرقم الأول سيكون من مضاعفات الثالث.

رسم بياني للعلاقة متعدية مع كل زوج من الأسهم من Xل فيو من فيل ضيحتوي على سهم يذهب من Xل ض.

7. الاتصال

تعريف. سلوك رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xيسمى متصل إذا كان لأية عناصر X, فيمن العديد × ×على علاقة مع فيأو فيعلى علاقة مع Xأو س = ص.

رمتصل X Û(" X, في, ضÎ X) × ص ص Ú ذ ر ضÚ X= في

وبعبارة أخرى: الموقف رفي مجموعة متنوعة من الطرق Xيسمى متصلاً إذا كان لأي عناصر مميزة X, فيمن العديد × ×على علاقة مع فيأو فيعلى علاقة مع Xأو س = ص.

مثال.سلوك " X< في» بشكل متماسك، لأن بغض النظر عن الأعداد الحقيقية التي نأخذها، فمن المؤكد أن أحدهما سيكون أكبر من الآخر أو سيكونان متساويين.

في الرسم البياني للعلاقات المتصلة، ترتبط جميع القمم ببعضها البعض بواسطة الأسهم.

مثال.تحقق من الخصائص التي يمتلكها

سلوك " X -مقسم في"، محدد في المجموعة

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) هذه العلاقة انعكاسية، لأن كل رقم من مجموعة معينة هو مقسوم على نفسه؛

2) هذه العلاقة لا تمتلك خاصية مضادة للانعكاس؛

3) خاصية التماثل غير راضية، لأن على سبيل المثال، 2 هو مقسوم على 4، لكن 4 ليس مقسومًا على 2؛

4) هذه العلاقة غير متماثلة: يمكن لعددين أن يكونا مقسومين على بعضهما البعض في وقت واحد فقط إذا كانت هذه الأرقام متساوية؛

5) العلاقة متعدية، لأن إذا كان الرقم الأول هو المقسوم على الثاني، والثاني هو المقسوم على الثالث، فإن الرقم الأول سيكون بالضرورة مقسوما على الثالث؛

6) العلاقة لا تملك خاصية الترابط، لأن على سبيل المثال، الرقمان 2 و 3 على الرسم البياني غير متصلين بواسطة سهم، لأن رقمان مختلفان 2 و 3 ليسا مقسومين على بعضهما البعض.

وبالتالي فإن هذه العلاقة لها خصائص الانعكاسية وعدم التماثل والعبور.

§ 3. علاقة التكافؤ.
العلاقة بين علاقة التكافؤ وتقسيم المجموعة إلى فئات

تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xتسمى علاقة التكافؤ إذا كانت انعكاسية ومتماثلة ومتعدية.

مثال.النظر في العلاقة " Xزميل الصف في"على العديد من طلاب كلية التربية. لديها الخصائص التالية:

1) الانعكاسية، لأن كل طالب هو زميله.

2) التماثل، لأن إذا كان طالبا X في، ثم الطالب فيهو زميل للطالب X;

3) العبور، لأن إذا كان طالبا X- زميل الصف في، والطالب في- زميل الصف ض، ثم الطالب Xسيكون زميل الطالب ض.

وبالتالي فإن هذه العلاقة لها خصائص الانعكاسية والتماثل والتعدية، وبالتالي فهي علاقة تكافؤ. وفي الوقت نفسه، يمكن تقسيم العديد من طلاب كلية التربية إلى مجموعات فرعية تتكون من طلاب يدرسون في نفس المقرر الدراسي. نحصل على 5 مجموعات فرعية.

علاقات التكافؤ هي أيضًا، على سبيل المثال، علاقة توازي الخطوط، علاقة تساوي الأرقام. ترتبط كل علاقة من هذا القبيل بتقسيم المجموعة إلى فئات.

نظرية.إذا على مجموعة Xبالنظر إلى علاقة التكافؤ، فإنه يقسم هذه المجموعة إلى مجموعات فرعية منفصلة زوجية (فئات التكافؤ).

العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا تم تحديد أي علاقة في المجموعة X، ينشئ قسمًا من هذه المجموعة إلى فئات، فهي علاقة تكافؤ.

مثال.على مجموعة X= (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5؛ 6؛ 7؛ 8) تم تحديد العلاقة "لها نفس الباقي عند القسمة على 3". هل هي علاقة تكافؤ؟

لنقم ببناء رسم بياني لهذه العلاقة:

وتتميز هذه العلاقة بخصائص الانعكاسية والتماثل والتعدية، وبالتالي فهي علاقة تكافؤ وتقسم المجموعة Xإلى فصول المعادلة. في كل فئة معادلة سيكون هناك أرقام عند قسمتها على 3 تعطي نفس الباقي: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

ويعتقد أن فئة التكافؤ يتم تحديدها من قبل أي من ممثليها، أي. عنصر تعسفي من هذه الفئة. وبالتالي، يمكن تحديد فئة من الكسور المتساوية عن طريق تحديد أي كسر ينتمي إلى هذه الفئة.

في الدورة الأولية للرياضيات، يتم أيضًا مواجهة علاقات التكافؤ، على سبيل المثال، "التعبيرات". Xو فيلها نفس القيم العددية"، "الشكل Xيساوي هذا الرقم في».