Определения
- 1. Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество декартова произведения RAB, RAА.
- 2. Если А=В, то R - это бинарное отношение на A.
- 3. Обозначение: (x, y)R xRy.
- 4. Область определения бинарного отношения R - это множество R = {x: существует y такое, что (x, y)R}.
- 5. Область значений бинарного отношения R - это множество R = {y: существует x такое, что (x, y)R}.
- 6. Дополнение бинарного отношения R между элементами А и В - это множество R = (AB) R.
- 7. Обратное отношение для бинарного отношения R - это множество R1 = {(y, x) : (x, y)R}.
- 8. Произведение отношений R1AB и R2BC - это отношение R1 R2 = {(x, y) : существует zB такое, что (x, z)R1 и (z, y)R2}.
- 9. Отношение f называется функцией из А в В, если выполняется два условия:
- а) f = А, f В
- б) для всех x, y1, y2 из того, что (x, y1)f и (x, y2)f следует y1=y2.
- 10. Отношение f называется функцией из А на В, если в первом пункте будет выполняться f = А, f = В.
- 11. Обозначение: (x, y)f y = f(x).
- 12. Тождественная функция iA: AA определяется так: iA(x) = x.
- 13. Функция f называется 1-1-функцией, если для любых x1, x2, y из того, что y = f(x1) и y = f(x2) следует x1=x2.
- 14. Функция f: AB осуществляет взаимно однозначное соответствие между А и В, если f = А, f = В и f является 1-1-функцией.
- 15. Свойства бинарного отношения R на множестве А:
- - рефлексивность: (x, x)R для всех xA.
- - иррефлексивность: (x, x)R для всех xA.
- - симметричность: (x, y)R (y, x)R.
- - антисимметричность: (x, y)R и (y, x)R x=y.
- - транзитивность: (x, y)R и (y, z)R (x, z)R.
- - дихотомия: либо (x, y)R, либо (y, x)R для всех xA и yA.
- 16. Множества А1, A2, ..., Аr из Р(А) образуют разбиение множества А, если
- - Аi , i = 1, ..., r,
- - A = A1A2...Ar,
- - AiAj = , i j.
Подмножества Аi , i = 1, ..., r, называются блоками разбиения.
- 17. Эквивалентность на множестве А - это рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение на А.
- 18. Класс эквивалентности элемента x по эквивалентности R - это множество [x]R={y: (x, y)R}.
- 19. Фактор множество A по R - это множество классов эквивалентности элементов множества А. Обозначение: A/R.
- 20. Классы эквивалентности (элементы фактор множества А/R) образуют разбиение множества А. Обратно. Любому разбиению множества А соответствует отношение эквивалентности R, классы эквивалентности которого совпадают с блоками указанного разбиения. По-другому. Каждый элемент множества А попадает в некоторый класс эквивалентности из A/R. Классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.
- 21. Предпорядок на множестве A - это рефлексивное и транзитивное отношение на А.
- 22. Частичный порядок на множестве A - это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А.
- 23. Линейный порядок на множестве A - это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на А, удовлетворяющее свойству дихотомии.
Пусть A={1, 2, 3}, B={a, b}. Выпишем декартово произведение: AB = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }. Возьмём любое подмножество этого декартова произведения: R = { (1, a), (1, b), (2, b) }. Тогда R - это бинарное отношение на множествах A и B.
Будет ли это отношение являться функцией? Проверим выполнение двух условий 9a) и 9б). Область определения отношения R - это множество R = {1, 2} {1, 2, 3}, то есть первое условие не выполняется, поэтому в R нужно добавить одну из пар: (3, a) или (3, b). Если добавить обе пары, то не будет выполняться второе условие, так как ab. По этой же причине из R нужно выбросить одну из пар: (1, a) или (1, b). Таким образом, отношение R = { (1, a), (2, b), (3, b) } является функцией. Заметим, что R не является 1-1 функцией.
На заданных множествах A и В функциями также будут являться следующие отношения: { (1, a), (2, a), (3, a) }, { (1, a), (2, a), (3, b) }, { (1, b), (2, b), (3, b) } и т.д.
Пусть A={1, 2, 3}. Примером отношения на множестве A является R = { (1, 1), (2, 1), (2, 3) }. Примером функции на множестве A является f = { (1, 1), (2, 1), (3, 3) }.
Примеры решения задач
1. Найти R, R, R1, RR, RR1, R1R для R = {(x, y) | x, y D и x+y0}.
Если (x, y)R, то x и y пробегают все действительные числа. Поэтому R = R = D.
Если (x, y)R, то x+y0, значит y+x0 и (y, x)R. Поэтому R1=R.
Для любых xD, yD возьмём z=-|max(x, y)|-1, тогда x+z0 и z+y0, т.е. (x, z)R и (z, y)R. Поэтому RR = RR1 = R1R = D2.
2. Для каких бинарных отношений R справедливо R1= R?
Пусть RAB. Возможны два случая:
- (1) AB. Возьмём xAB. Тогда (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Противоречие.
- (2) AB=. Так как R1BA, а RAB, то R1= R= . Из R1 = следует, что R = . Из R = следует, что R=AB. Противоречие.
Поэтому если A и B, то таких отношений R не существует.
3. На множестве D действительных чисел определим отношение R следующим образом: (x, y)R (x-y) - рациональное число. Доказать, что R есть эквивалентность.
Рефлексивность:
Для любого xD x-x=0 - рациональное число. Потому (x, x)R.
Симметричность:
Если (x, y)R, то x-y = . Тогда y-x=-(x-y)=- - рациональное число. Поэтому (y, x)R.
Транзитивность:
Если (x, y)R, (y, z)R, то x-y = и y-z =. Складывая эти два уравнения, получаем, что x-z = + - рациональное число. Поэтому (x, z)R.
Следовательно, R - это эквивалентность.
4. Разбиение плоскости D2 состоит из блоков, изображённых на рисунке а). Выписать отношение эквивалентности R, соответствующее этому разбиению, и классы эквивалентности.
Аналогичная задача для b) и c).
а) две точки эквивалентны, если лежат на прямой вида y=2x+b, где b - любое действительное число.
b) две точки (x1,y1) и (x2,y2) эквивалентны, если (целая часть x1 равна целой части x2) и (целая часть y1 равна целой части y2).
с) решить самостоятельно.
Задачи для самостоятельного решения
- 1. Доказать, что если f есть функция из A в B и g есть функция из B в C, то fg есть функция из A в C.
- 2. Пусть A и B - конечные множества, состоящие из m и n элементов соответственно.
Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств A и B?
Сколько имеется функций из A в B?
Сколько имеется 1-1 функций из A в B?
При каких m и n существует взаимно-однозначное соответствие между A и B?
3. Доказать, что f удовлетворяет условию f(AB)=f(A)f(B) для любых A и B тогда и только тогда, когда f есть 1-1 функция.
Широкий спектр отношений на примере множеств сопровождается большим числом понятий, начиная с их определений и заканчивая аналитическим разбором парадоксов. Разнообразие обсуждаемого в статье понятия на множестве бесконечно. Хотя, когда говорят про двойственные типы, под этим подразумеваются бинарные отношения между несколькими величинами. А также между объектами или высказываниями.
Как правило, бинарные отношения обозначаются символом R, то есть, если xRx для любого значения x из поля R, такое свойство называют рефлексивным, в котором x и х - это принятые объекты мысли, а R служит знаком о том или ином виде взаимосвязи между индивидами. В то же время если выражать xRy® или yRx, то это говорит о состоянии симметрии, где ® - знак импликации, похожий на союз «если..., то...". И, наконец, расшифровка надписи (xRy Ùy Rz) ®xRz расскажет о транзитивной взаимосвязи, причём знак Ù - это конъюнкция.
Бинарное отношение, которое бывает одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным, именуется взаимосвязью эквивалентности. Отношение f - это функция, и из <х, у> Î f и <х, z> Î f вытекает равность y=z. Простая бинарная функция может быть легко применима к двум несложным аргументам, расположенным в определённом порядке, и лишь в данном случае она предоставляет ей значение, направленное этим двум выражениям, взятым в конкретном случае.
Следует говорить, что f отображает x на y,
если f служит функцией с зоной определения x и зоной значений y. Однако когда f экстраполирует x на y, и y Í z, то это приводит к тому, что f показывает x в z. Простой пример: если f(x)=2x справедливо для достоверно любого целого х, то говорят, что f отображает знаковое множество всех известных целых чисел во множество тех же целых, но на этот раз чётных чисел. Как уже упоминалось выше, бинарные отношения, которые одновременно рефлексивны, симметричны и транзитивны, являются взаимосвязями эквивалентности.
Исходя из вышесказанного, взаимосвязи эквивалентности бинарных отношений определяются свойствами:
- рефлексивности - соотношение (M ~ N);
- симметричности - если равность M ~ N, то будет N ~ M;
- транзитивности - если две равности M ~ N и N ~ P, то в результате M ~ P.
Рассмотрим заявленные свойства бинарных отношений подробнее. Рефлексивность - это одна из характеристик некоторых связей, где каждый элемент исследуемого множества пребывает в данной равности сам себе. Например, между числами а=с и а³ с - рефлексивные связи, поскольку всегда а=а, с=с, а³ а, с³ с. В то же время отношение неравенства а>с - антирефлексивно из-за невозможности существования неравенства а>а. Аксиома этого свойства кодируется знаками: aRc® aRa Ù cRc , здесь символ ® означает слово "влечёт" (или "имплицирует"), а знак Ù - выступает союзом "и" (или конъюнкцией). Из этого утверждения следует, что в случае истинности суждения aRc также истинны и выражения aRa и cRc.
Симметричность влечёт за собой наличие отношения и в том случае, если мыслительные объекты поменять местами, то есть при симметричной взаимосвязи перестановка объектов не приводит к трансформации вида "бинарные отношения". Например, связь равенства а=с симметрична по причине эквивалентности отношения с=а; также одинаково и суждение а¹с, так как оно отвечает связи с¹а.
Транзитивное множество - это такое свойство, при котором выполняется следующее требование: у Î х, z Î y ® z Î x, где ® выступает знаком, заменяющим слова: "если..., то...". Вербально читается формула таким образом: «Если у зависит от х, z принадлежит у, то z также зависит от х".
Рассмотрим отношение «уважать», определенное на множестве всех людей %%M%%. Для полной информации о том, кто кого уважает, составим следующее множество %%R%%. Переберем все пары %%(a, b)%%, где %%a, b%% пробегают множество всех людей. Если %%a%% уважает %%b%%, то пару %%(a,b)%% отнесем к множеству %%R%%, иначе — нет.
Этот список полностью отражает отношение «уважать». Если нужно узнать, уважает ли человек %%a%% человека %%b%%, то просмотрим множество %%R%%. Если пара %%(a, b) \in R%%, то заключаем, что %%a%% уважает %%b%%. В случае %%(a,b) \notin R%% — %%a%% не уважает %%b%%.
Определение
Бинарным отношением , определенным на множестве %%M%%, называется произвольное подмножество %%R%% из декартового произведения %%M^2%%.
Пример
Рассмотрим отношение больше на множестве %%M = \{1, 2\}%%. Тогда
$$ M^2 = \big\{(1, 1), (1,2), (2,1), (2,2)\big\} $$ Из него выбирем все пары %%(a,b)%%, где %%a > b%%. Получим $$ R = \big\{(2,1)\big\} $$
Виды бинарных отношений
Рефлексивное бинарное отношение
рефлексивным , если для любого элемента %%a%% из %%M%%, выполняется условие %%a~R~a%%. $$ \begin{array}{l} \forall a\in M~~a~R~a \text{ или}\\ \forall a\in M~~(a,a) \in R. \end{array} $$
Примеры
- Рассмотрим отношение больше больше рефлексивным? Если да, то каждое число является больше самого себя, что неверно. Поэтому отношение больше не рефлексивно.
- Рассмотрим отношение равно на множестве действительных чисел. Оно является рефлексивным , так как каждое действительное число равно самому себе.
Симметричное бинарное отношение
Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется симметричным , если для любых двух элементов %%a, b%% из %%M%%, из условия %%a~R~b%% следует условие %%b~R~a%%.
$$ \begin{array}{l} \forall a,b\in M~~a~R~b \rightarrow b~R~a \text{ или}\\ \forall a,b\in M~~(a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R. \end{array} $$
Примеры
- Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше симметричным? Оно не является симметричным, так как если %%a > b%%, то условие %%b > a%% не выполняется. Поэтому отношение больше не симметрично.
- Пусть %%R%% — отношение, определенное на множестве %%M = \{a,b,c\}%%. При этом %%R = \big\{ (a,b), (b,c), (a,a), (b,a), (c,b)\big\}%%. Для этого отношения имеем %%\forall x,y \in M ~~ (x,y) \in R \rightarrow (y,x) \in R%%. По определению %%R%% симметрично.
Транзитивное бинарное отношение
Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется транзитивным , если для любых элементов %%a, b, c%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~c%% следует условие %%a~R~c%%.
$$ \begin{array}{l} \forall a,b,c\in M~~a~R~b \land b~R~c \rightarrow a~R~c \text{ или}\\ \forall a,b,c\in M~~(a,b) \in R \land (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R. \end{array} $$
Пример
Рассмотрим отношение больше на множестве дейтсвительных чисел. Оно является транзитивным , так как для любых элементов выполняется условние %%\forall a,b,c\in M~~a > b \land b > c \rightarrow a > c%%. Так, например, подставив вместо %%a, b%% и %%c%% числа %%2, 1%% и %%0%% соответственно, получим: если %%2 > 1%% и %%1 > 0%%, то %%2 > 0%% — верное утверждение (вспомните импликацию, из истины следует истина).
Антисимметричное бинарное отношение
Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется антисимметричным , если для любых элементов %%a, b%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~a%% следует условие %%a = b%%.
$$ \begin{array}{l} \forall a,b,c\in M~~a~R~b \land b~R~a \rightarrow a = b \text{ или}\\ \forall a,b\in M~~(a,b) \in R \land (b,a) \in R \rightarrow a = b. \end{array} $$
Пример
Отношение больше или равно на множестве действительных чисел антисимметрично . Действительно, если %%a \geq b%% и %%b \geq a%%, %%a = b%%.
Эквивалентное бинарное отношение
эквивалентности , если оно рефлексивно , симметрично и транзитивно .
Нетрудно проверить, что отношение параллельности на множестве прямых плоскости является отношением эквивалентности.
Отношение частичного порядка
Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется отношением частичного порядка , если оно рефлексивно , антисимметрично и транзитивно .
Отношение больше или равно на множестве действительных чисел является отношением частичного порядка.
Построение отрицаний
Пусть %%R%% — бинарное отношение на множестве %%M%%, и %%P%% — одно из следующих условий:
- отношение %%R%% рефлексивно,
- отношение %%R%% симметрично,
- отношение %%R%% транзитивно,
- отношение %%R%% антисимметрично.
Построим для каждого из них отрицание выполнения условия %%P%%.
Отрицание рефлексивности
По определению %%R%% рефлексивно, если каждый элемент множества %%M%% находится в отношении %%R%% к самому себе, то есть %%\forall a \in M~~a~R~a%%. Тогда рассмотрим отрицание рефлексивности как истинное высказывание %%\overline{\forall a \in M~~a~R~a}%%. Используем равносильность %%\overline{\forall x P(x)} \equiv \exists x \overline {P(x)}%%. В нашем случае получаем %%\forall a \in M~~a~R~a \equiv \exists a\in M~~a~\not\text{R }~a%%, что и нужно.
Аналогично получаем и остальные отрицания. В итоге получаем следующие утверждения:
%%R%% не рефлексивно тогда и только тогда, когда
$$ \exists a \in M~~a~\not R~a $$
%%R%% не симметрично тогда и только тогда, когда
$$ \exists a, b \in M~~ a~R~b \land b~\not R~a $$
%%R%% не транзитивно тогда и только тогда, когда
$$ \exists a, b, c \in M a~R~b \land b~R~c \land a~\not R~c $$
%%R%% не антисимметрично тогда и только тогда, когда
$$ \exists a, b \in M~~ a~R~b \land b~R~a \land a \neq b. $$
Лекция 3.
п.3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.
3.1. Бинарные отношения .
Когда говорят о родстве двух людей, например, Сергей и Анна, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Сергей, Анна) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Сергеем и Анной есть некое родство (кузина, отец и т. д.).
В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (A ´B ) тоже выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении S ´K можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s , k ), обладающих свойством: студент s слушает курс k . Построенное подмножество отражает отношение «… слушает …», естественно возникающее между множествами студентов и курсов.
Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств введем понятие бинарного отношения.
Определение 3.1. Бинарным (или двухместным ) отношением r между множествами A и B называется произвольное подмножество A ´B , т. е.
В частности, если A= B (то есть rÍA 2), то говорят, что r есть отношение на множестве A.
Элементы a и b называются компонентами (или координатами ) отношения r.
Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит : r, t, j, s, w и т. д.
Определение 3.2. Областью определения D r={a | $ b , что a rb } (левая часть). Областью значений бинарного отношения r называется множество R r={b | $ a , что a rb } (правая часть).
Пример 3. 1. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7} и B ={2; 4; 6}. Отношение зададим следующим образом t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}. Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде t={(3; 6), (5; 4), (7;2)}. В данном примере D t={3; 5; 7} и R t= B ={2; 4; 6}.
Пример 3. 2. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество r={(x ; y ) | x и y – действительные числа и x равно y }. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, D r= R r.
Пример 3. 3. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда j={(x ; y )ÎA ´B | y – цена x } – отношение множеств A и B .
Если обратить внимание на пример 3.1., то можно заметить, что данное отношение было задано сначала в виде t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}, а потом записано в виде t={(3; 6), (5;4), (7;2)}. Это говорит о том, что отношения на множествах (или одном множестве) можно задавать различными способами. Рассмотрим способы задания бинарных отношений.
Способы задания отношений:
1) с помощью подходящего предиката;
2) множество упорядоченных пар;
3) в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и r – бинарное отношение между ними. Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости. Для каждой упорядоченной пары отношения r рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом , точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа .
4) в виде матрицы: пусть A ={a 1, a 2, …, an } и B ={b 1, b 2, …, bm }, r – отношение на A ´B . Матричным представлением r называется матрица M =[mij ] размера n ´m , определенная соотношениями
.
Кстати, матричное представление является представлением отношения в компьютере.
Пример 3. 4. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7}и B ={2; 4; 6}. Отношение задано следующим образом t={(x ; y ) | x+ y =9}. Задать данное отношение как множество упорядоченных пар, орграфом, в виде матрицы.
Решение. 1) t={(3; 6), (5; 4), (7; 2)} - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;
2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.
https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,
Пример 3. 5 . Еще в качестве примера можно рассмотреть предложенную Дж. фон Нейманом (1903 – 1957) блок-схему ЭВМ последовательного действия, которая состоит из множества устройств M :
,
где a – устройство ввода, b – арифметическое устройство (процессор), c – устройство управления, d – запоминающее устройство, e – устройство вывода.
Рассмотрим информационный обмен между устройствами mi и mj , которые находятся в отношении r, если из устройства mi поступает информация в устройство mj .
Это бинарное отношение можно задать перечислением всех его 14 упорядоченных пар элементов:
Соответствующий орграф, задающий это бинарное отношение, представлен на рисунке:
Матричное представление этого бинарного отношения имеет вид:
. ,
Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные операции: объединение, пересечение и т. д.
Введем обобщенное понятие отношения.
Определение 3.3. n-местное (n -арное ) отношение r – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей )
rÍA 1´…´An ={(a 1, …, an )| a 1ÎA 1Ù … Ùan ÎAn }
Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц . Такое задание соответствует перечислению множества n -к отношения r. Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных . Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.
Слово «реляционная » происходит от латинского слова relation , которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или r (греческую).
Определение 3.4. Пусть rÍA ´B есть отношение на A ´B. Тогда отношение r-1 называется обратным отношением к данному отношению r на A ´B , которое определяется следующим образом:
r-1={(b , a ) | (a , b )Îr}.
Определение 3.5. Пусть r ÍA ´B есть отношение на A ´B, а s ÍB ´C – отношение на B ´C. Композицией отношений s и r называется отношение t ÍA ´C ,которое определяется следующим образом:
t=s◦r= {(a , c )| $ b Î B, что (a , b )Îr и (b , c )Îs}.
Пример 3. 6 . Пусть , и C ={, !, d, à}. И пусть отношение r на A ´B и отношение s на B ´C заданы в виде:
r={(1, x ), (1, y ), (3, x )};
s={(x ,), (x , !), (y , d), (y , à)}.
Найти r-1 и s◦r, r◦s.
Решение. 1) По определению r-1={(x , 1), (y , 1), (x , 3)};
2) Используя определение композиции двух отношений, получаем
s◦r={(1,), (1, !), (1, d), (1, à), (3,), (3, !)},
поскольку из (1, x )Îr и (x ,)Îs следует (1,)Îs◦r;
из (1, x )Îr и (x , !)Îs следует (1, !)Îs◦r;
из (1, y )Îr и (y , d)Îs следует (1, d)Îs◦r;
из (3, x )Îr и (x , !)Îs следует (3, !)Îs◦r.
Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:
2) ;
3) - ассоциативность композиции.
Доказательство. Свойство 1 очевидно.
Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Пусть (a ; b ) Î (s◦r)-1 Û (b ; a ) Î s◦r Û $ c такое, что (b ; c ) Î r и (c ; a ) Î s Û $ c такое, что (c ; b ) Î r-1 и (a ; c ) Î s-1 Û (a ; b ) Î r -1◦s -1.
Свойство 3 доказать самостоятельно.
3.2. Свойства бинарных отношений .
Рассмотрим специальные свойства бинарных отношений на множестве A .
Свойства бинарных отношений.
1. Отношение r на A ´A называется рефлексивным , если (a ,a ) принадлежит r для всех a из A .
2. Отношение r называется антирефлексивным , если из (a ,b )Îr следует a ¹b .
3. Отношение r симметрично , если для a и b , принадлежащих A , из (a ,b )Îr следует, что (b ,a )Îr.
4. Отношение r называется антисимметричным , если для a и b из A , из принадлежности (a ,b ) и (b ,a ) отношению r следует, что a =b .
5. Отношение r транзитивно , если для a , b и c из A из того, что (a ,b )Îr и (b ,c )Îr, следует, что (a ,c )Îr.
Пример 3. 7. Пусть A ={1; 2; 3; 4; 5; 6}. На этом множестве задано отношение rÍA 2, которое имеет вид: r={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)}. Какими свойствами обладает данное отношение?
Решение. 1) Это отношение рефлексивно, так как для каждого a ÎA , (a ; a )Îr.
2) Отношение не является антирефлексивным, так как не выполняется условие этого свойства. Например, (2, 2)Îr, но отсюда не следует, что 2¹2.
3) Рассмотрим все возможные случаи, показав, что отношение r является симметричным:
(a , b )Îr | (b , a ) | (b , a )Îr? |
|
4) Данное отношение не является антисимметричным, поскольку (1, 2)Îr и (2,1)Îr, но отсюда не следует, что 1=2.
5) Можно показать, что отношение r транзитивно, используя метод прямого перебора.
(a , b )Îr | (b , c )Îr | (a , c ) | (a , c )Îr? |
|
Как по матрице представления
определить свойства бинарного отношения
1. Рефлексивность: на главной диагонали стоят все единицы, звездочками обозначены нули или единицы.
.
2. Антирефлексивность: на главной диагонали все нули.
3. Симметричность: если .
4. Антисимметричность: все элементы вне главной диагонали равны нулю; на главной диагонали тоже могут быть нули.
.
Операция «*» выполняется по следующему правилу: , где , .
5. Транзитивность: если . Операция «◦» выполняется по обычному правилу умножения, при этом надо учитывать: .
3.3 Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.
Отношение эквивалентности является формализацией такой ситуации, когда говорят о сходстве (одинаковости) двух элементов множества.
Определение 3.6. Отношение r на A есть отношение эквивалентности , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности a rb часто обозначается: a ~ b .
Пример 3. 8 . Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.
Пример 3. 9 . Отношение «одного роста» есть отношение эквивалентности на множестве людей X .
Пример 3. 1 0 . Пусть ¢ - множество целых чисел. Назовем два числа x и y из ¢ сравнимыми по модулю m (m Î¥) и запишем , если равны остатки этих чисел от деления их на m , т. е. разность (x -y ) делится на m .
Отношение «сравнимых по модулю m целых чисел» есть отношение эквивалентности на множестве целых числе ¢. В самом деле:
это отношение рефлексивно, т. к. для "x ΢ имеем x -x =0, и, следовательно, оно делится на m ;
это отношение симметрично, т. к. если (x -y ) делится на m , то и (y -x ) тоже делится на m ;
это отношение транзитивно, т. к. если (x -y ) делится на m , то для некоторого целого t 1 имеем https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, отсюда , т. е. (x -z ) делится на m .
Определение 3.7. Отношение r на A есть отношение частичного порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом °.
Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство. Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.
Пример 3. 11 . Отношение x £y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка. ,
Пример 3. 1 2 . Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение A ÍB есть отношение частичного порядка.
Пример 3. 1 3 . Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.
Прообразом отношения частичного порядка является интуитивное понятие отношения предпочтения (предшествования). Отношение предпочтения выделяет класс задач, которые можно объединить, как задача о проблеме выбора наилучшего объекта .
Формулировка задачи: пусть имеется совокупность объектов A и требуется сравнить их по предпочтительности, т. е. задать отношение предпочтения на множестве A и определить наилучшие объекты.
Отношение предпочтения P , которое можно определить как «aPb , a , b ÎA Û объект a не менее предпочтителен, чем объект b » является по смыслу рефлексивным и антисимметричным (каждый объект не хуже самого себя, и, если объект a не хуже b и b не хуже a , то они одинаковы по предпочтительности). Естественно считать, что отношение P транзитивно (хотя в случае, когда, например, предпочтения обсуждаются группой лиц с противоположными интересами, это свойство может быть нарушено), т. е. P – отношение частичного порядка.
Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности – ранжирование , т. е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделяем «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.
Области применения задачи о проблеме выбора наилучшего объекта: теория принятия решений, прикладная математика, техника, экономика, социология, психология.
Основы дискретной математики.
Понятие множества. Отношение между множествами.
Множество – совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.
Объекты, составляющие множество называются элементами множества. Для того чтобы некоторую совокупность объектов можно было называть множеством должны выполняться следующие условия:
· Должно существовать правило, по которому моно определить принадлежит ли элемент к данной совокупности.
· Должно существовать правило, по которому элементы можно отличить друг от друга.
Множества обозначаются заглавными буквами, а его элементы маленькими. Способы задания множеств:
· Перечисление элементов множества. - для конечных множеств.
· Указание характеристического свойства .
Пустым множеством – называется множество, не содержащее ни одного элемента (Ø).
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. , A=B
Множество B называется подмножеством множества А ( , тогда и только тогда когда все элементы множества B принадлежат множеству A .
Например: , B =>
Свойство:
Примечание: обычно рассматривают подмножество одного и того е множества, которое называется универсальным (u). Универсальное множество содержит все элементы.
Операции над множествами.
A |
B |
2.Пересечением 2-х множеств называется новое множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежат и первому и второму множеству.
Н-р: , ,
Свойство: операции объединения и пересечения.
· Коммутативность.
· Ассоциативность. ;
· Дистрибутивный. ;
U |
Бинарные отношения и их свойства.
Пусть А и В это множества производной природы, рассмотрим упорядоченную пару элементов (а, в) а ϵ А, в ϵ В можно рассматривать упорядоченные «энки».
(а 1 , а 2 , а 3 ,…а n) , где а 1 ϵ А 1 ; а 2 ϵ А 2 ; …; а n ϵ А n ;
Декартовым (прямым) произведением множеств А 1 , А 2 , …, А n , называется мн-во, которое состоит из упорядоченных n k вида .
Н-р: М = {1,2,3}
М× М= М 2 = {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.
Подмножества декартова произведения называется отношением степени n или энарным отношением. Если n =2, то рассматривают бинарные отношения. При чем говорят, что а 1 , а 2 находятся в бинарном отношении R , когда а 1 R а 2.
Бинарным отношением на множестве M называется подмножество прямого произведения множества n самого на себя.
М× М= М 2 = {(a, b )| a, b ϵ M } в предыдущем примере отношение меньше на множестве М порождает следующее множество: {(1,2);(1,3); (2,3)}
Бинарные отношения обладают различными свойствами в том числе:
· Рефлексивность: .
· Антирефлексивность (иррефлексивность): .
· Симметричность: .
· Антисимметричность: .
· Транзитивность: .
· Асимметричность: .
Виды отношений.
· Отношение эквивалентности;
· Отношение порядка.
v Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.
v Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.
v Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.
v Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.