Согласно законам Ньютона, движение тела с ускорением возможно только под действием силы. Т.к. падающие тела движутся с ускорением, направленным вниз, то на них действует сила притяжения к Земле. Но не только Земля обладает свойством действовать на все тела силой притяжения. Исаак Ньютон предположил, что между всеми телами действуют силы притяжения. Эти силы называются силами всемирного тяготения илигравитационными силами.

Распространив установленные закономерности – зависимость силы притяжения тел к Земле от расстояний между телами и от масс взаимодействующих тел, полученные в результате наблюдений,– Ньютон открыл в 1682 г. закон всемирного тяготения :Все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Векторы сил всемирного тяготения направлены вдоль прямой, соединяющей тела. Коэффициент пропорциональности Gназываетсягравитационной постоянной (постоянной всемирного тяготения) и равна

.

Силой тяжести называется сила притяжения, действующая со стороны Земли на все тела:

.

Пусть
– масса Земли, а
– радиус Земли. Рассмотрим зависимость ускорения свободного падения от высоты подъема над поверхностью Земли:

Вес тела. Невесомость

Вес тела – сила, с которой тело давит на опору или подвес вследствие притяжения этого тела к земле. Вес тела приложен к опоре (подвесу). Величина веса тела зависит от того, как движется тело с опорой (подвесом).

Вес тела, т.е. сила, с которой тело действует на опору, и сила упругости, с которой опора действует на тело, в соответствие с третьим законом Ньютона равны по абсолютному значению и противоположны по направлению.

Если тело находится в покое на горизонтальной опоре или равномерно движется, на него действуют только сила тяжести и сила упругости со стороны опоры, следовательно вес тела равен силе тяжести (но эти силы приложены к разным телам):

.

При ускоренном движении вес тела не будет равен силе тяжести. Рассмотрим движение тела массой mпод действием сил тяжести и упругости с ускорением. По 2-му закону Ньютона:

Если ускорение тела направлено вниз, то вес тела меньше силы тяжести; если ускорение тела направлено вверх, то все тела больше силы тяжести.

Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры или подвеса, называют перегрузкой .

Если тело свободно падает, то из формулы * следует, что вес тела равен нулю. Исчезновение веса при движении опоры с ускорением свободного падения называется невесомостью .

Состояние невесомости наблюдается в самолете или космическом корабле при движении их с ускорением свободного падения независимо от скорости их движения. За пределами земной атмосферы при выключении реактивных двигателей на космический корабль действует только сила всемирного тяготения. Под действием этой силы космический корабль и все тела, находящиеся в нем, движутся с одинаковым ускорением; поэтому в корабле наблюдается явление невесомости.

Движение тела под действием сил тяжести. Движение искусственных спутников. Первая космическая скорость

Если модуль перемещения тела много меньше расстояния до центра Земли, то можно считать силу всемирного тяготения во время движения постоянной, а движение тела равноускоренным. Самый простой случай движения тела под действием силы тяжести – свободное падение с нулевой начальной скоростью. В этом случае тело движется с ускорением свободного падения к центру Земли. Если есть начальная скорость, направленная не по вертикали, то тело движется по криволинейной траектории (параболе, если не учитывать сопротивление воздуха).

При некоторой начальной скорости тело, брошенное по касательной к поверхности Земли, под действием силы тяжести при отсутствии атмосферы может двигаться по окружности вокруг Земли, не падая на нее и не удаляясь от нее. Такая скорость называется первой космической скоростью , а тело, движущееся таким образом –искусственным спутником Земли (ИСЗ) .

Определим первую космическую скорость для Земли. Если тело под действием силы тяжести движется вокруг Земли равномерно по окружности, то ускорение свободного падения является его центростремительным ускорением:

.

Отсюда первая космическая скорость равна

.

Первая космическая скорость для любого небесного тела определяется таким же образом. Ускорение свободного падения на расстоянии R от центра небесного тела можно найти, воспользовавшись вторым законом Ньютона и законом всемирного тяготения:

.

Следовательно, первая космическая скорость на расстоянии R от центра небесного тела массойM равна

.

Для запуска на околоземную орбиту ИСЗ необходимо сначала вывести за пределы атмосферы. Поэтому космические корабли стартуют вертикально. На высоте 200 – 300 км от поверхности Земли, где атмосфера разрежена и почти не влияет на движение ИСЗ, ракета делает поворот и сообщает ИСЗ первую космическую скорость в направлении, перпендикулярном вертикали.

11 февраля 2016 г. было объявлено об экспериментальном открытии гравитационных волн, существование которых предугадал в прошлом веке Альберт Эйнштейн. Гравитационная волна — это распространение переменного гравитационного поля в пространстве. Данная волна излучается подвижной массой и может оторваться от своего источника (как отрывается электромагнитная волна от заряженной частицы, движущейся с ускорением). Считают, что изучение гравитационных волн поможет пролить свет на историю Вселенной и не только...

Говорят, что И. Ньютон сам рассказывал, как он открыл закон всемирного тяготения. Как-то ученый гулял по саду и увидел на дневном небе Луну. В этот момент на его глазах с ветки упало яблоко. Именно тогда Ньютон подумал о том, что, возможно, это одна и та же сила заставляет яблоко падать на землю, а Луну — оставаться на околоземной орбите.

Изучаем гравитационное взаимодействие

Все без исключения физические тела во Вселенной притягиваются друг к другу — это явление называют всемирным тяготением или гравитацией (от лат. gravitas — вес).

гравитационное взаимодействие — взаимодействие, присущее всем телам во Вселенной и проявляющееся в их взаимном притяжении друг к другу.

Например, сейчас вы и учебник взаимодействуете силами гравитационного притяжения. Но в данном случае силы настолько малы, что их не зафиксируют даже самые точные приборы. Силы гравитационного притяжения становятся заметными только тогда, когда хотя бы одно из тел имеет массу, сравнимую с массой небесных тел (звезд, планет, их спутников и т. п.).

Гравитационное взаимодействие осуществляется благодаря особому виду материи — гравитационному полю, которое существует вокруг любого тела — звезды, планеты, человека, книги, молекулы, атома и т. д.

Открываем закон всемирного тяготения

Первые высказывания о тяготении встречаются у античных авторов. Так, древнегреческий мыслитель Плутарх (ок. 46 — ок. 127 гг.) писал: «Луна упала бы на Землю как камень, чуть только исчезла бы сила ее полета».

В XVI-XVII вв. ученые Европы снова обратились к теории существования взаимного притяжения тел. Толчком послужили прежде всего открытия в астрономии: Николай Коперник (рис. 33.1) доказал, что в центре Солнечной

системы находится Солнце, а все планеты вращаются вокруг него; Иоганн Кеплер(1571-1630) открыл законы движения планет вокруг Солнца;

Галилео Галилей создал телескоп и с его помощью увидел спутники Юпитера.

Но почему планеты вращаются вокруг Солнца, а спутники вокруг планет, какая сила удерживает космические тела на орбитах? Одним из первых это понял английский ученый Роберт Гук(1635-1703). Он писал: «Все небесные тела имеют притяжение к своему центру, вследствие чего они не только притягивают собственные части и не дают им разлетаться, но и притягивают также все другие небесные тела, находящиеся в сфере их действия». Именно Р. Гук предположил, что сила притяжения двух тел прямо пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Однако доказал это И. Ньютон, который и сформулировал закон всемирного тяготения:

Рис. 33.2. Согласно третьему закону Ньютона силы гравитационного притяжения тел равны по модулю и противоположны по направлению

Рис. 33.3. Генри Кавендиш (1731-1810) — английский физик и химик. Определил гравитационную постоянную, массу и среднюю плотность Земли; за несколько лет до Ш. Кулона открыл закон взаимодействия электрических зарядов

Между любыми двумя телами действуют силы гравитационного притяжения (рис. 33.2), которые прямо пропорциональны произведению масс этих тел и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

Математическую запись какого закона вам напоминает запись закона всемирного тяготения? Запишите формулу.

Гравитационную постоянную впервые измерил английский ученый Генри Кавендиш (рис. 33.3) в 1798 г. с помощью крутильных весов:

Гравитационная постоянная численно равна силе, с которой две материальные точки массой1 кг каждая взаимодействуют на расстоянии1 м друг от друга(если m 1 = m 2 = 1 кг, а r = 1м, то F = 6,67 10 -11 Н).

Закон всемирного тяготения позволяет описать большое количество явлений, в том числе движение естественных и искусственных тел в Солнечной системе, движение двойных звезд, звездных скоплений и др. В астрономии, опираясь на этот закон, вычисляют массы небесных тел, выясняют характер их движения, строение, эволюцию.

дает точный результат в следующих случаях:

Выясняем границы применимости закона всемирного тяготения

Рис. 33.5. Сила тяжести направлена вертикально вниз и приложена к точке, которую называют центром тяжести тела. Центр тяжести однородного симметричного тела расположен в центре симметрии; может быть и вне тела (в)

Рис. 33.6. Расстояние r от центра Земли до тела равно сумме радиуса Земли R З и высоты h, на которой находится тело

1) если размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними (тела можно считать материальными точками);

2) если оба тела имеют шарообразную форму и сферическое распределение вещества;

3) если одно из тел — шар, размеры и масса которого значительно больше, чем размеры и масса другого тела, находящегося на поверхности этого шара или на расстоянии от него.

Обратите внимание! Закон всемирного тяготения, как и большинство законов классической механики, применяют только в случаях, когда относительная скорость движения тел намного меньше скорости распространения света. В общем случае тяготение описывается общей теорией относительности, созданной А. Эйнштейном.

Почему можно воспользоваться законом всемирного тяготения, вычисляя силу притяжения Земли к Солнцу? Луны к Земле? человека к Земле (см. рис. 33.4)?

определяем силу тяжести

Сила тяжести Р тяж — сила, с которой Земля (или другое астрономическое тело) притягивает к себе тела, находящиеся на ее поверхности или вблизи нее (рис. 33.5)*.

Согласно закону всемирного тяготения модуль силы тяжести ^ тяж, действующей на тело вблизи Земли, можно вычислить по формуле:

где G — гравитационная постоянная; m — масса тела; М З — масса Земли; r = R З + h — расстояние от центра Земли до тела (рис. 33.6).

Что такое ускорение свободного падения

Падение тел впервые исследовал Галилео Галилей, который экспериментально доказал: причина того, что легкие тела падают с меньшим ускорением, — сопротивление воздуха; при отсутствии воздуха все тела — независимо от их массы, объема, формы — падают на Землю с одинаковым ускорением. Более точные эксперименты провел Исаак Ньютон, изготовив для этого специальное устройство — трубку Ньютона. Эксперименты показали: в вакууме свинцовая дробинка, пробка и птичье перо падали одинаково (а), в воздухе перо безнадежно отставало (б).

Движение тела только под действием силы тяжести называют свободным падением.

При свободном падении сила тяжести, действующая на тело, никакой силой не скомпенсирована, поэтому согласно второму закону Ньютона тело движется с ускорением. Это ускорение называют ускорением свободного падения и обозначают символом g:

Как и сила тяжести, ускорение свободного падения всегда направлено вертикально вниз

независимо от того, в каком направлении движется тело. Из формулы g=-^тяж/^·:

Итак, имеем две формулы для определения модуля силы тяжести:

Отсюда получим формулу для вычисления ускорения свободного падения:

Анализ последней формулы показывает:

1. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела (доказал Г Галилей).

2. Ускорение свободного падения уменьшается при увеличении высоты h, на которой находится тело над поверхностью Земли, причем заметное изменение происходит, если h составляет десятки и сотни километров (на высоте h = 100 км ускорение свободного падения уменьшится всего лишь на 0,3 м/с 2).

3. Если тело находится на поверхности Земли (h = 0) или на высоте нескольких километров

Рис. 33.7. Модуль ускорения свободного падения на экваторе немного меньше, чем на полюсе g < g^

Отметим, что из-за вращения Земли, а также из-за того, что форма Земли — геоид (экваториальный радиус Земли больше полярного на 21 км), ускорение свободного падения зависит от географической широты местности (рис. 33.7).

Из курса физики 7 класса вы знаете, что g ~ 10 Н/кг. Докажите, что 1 Н/кг = 1 м/с 2 .

Подводим итоги

Взаимодействие, присущее всем телам во Вселенной и проявляющееся в их взаимном притяжении друг к другу, называют гравитационным. Гравитационное взаимодействие осуществляется с помощью особого вида материи — гравитационного поля.

Закон всемирного тяготения: между любыми двумя телами действует сила гравитационного притяжения, которая прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния

гравитационная постоянная.

Силу, с которой Земля притягивает к себе тела, находящиеся на ее поверхности или вблизи нее, называют силой тяжести. Сила тяжести направлена вертикально вниз, приложена к центру тяжести тела, а ее модуль

вычисляют по формулам:

между ними:

Движение тел только под действием силы тяжести называют свободным падением, а ускорение, с которым при этом движутся тела, — ускорением свободного падения g. Это ускорение всегда направлено вертикально вниз и не зависит от массы тела. На поверхности Земли g ~ 9,8 м/с 2 .

Контрольные вопросы

1. Какое взаимодействие называют гравитационным? Приведите примеры.

2. Сформулируйте и запишите закон всемирного тяготения. 3. Каков физический смысл гравитационной постоянной? Чему она равна? 4. Каковы границы применимости закона всемирного тяготения? 5. Дайте определение силы тяжести. По каким формулам ее вычисляют и как она направлена? 6. От каких факторов зависит ускорение свободного падения?

Упражнение № 33

1. Определите массу тела, если на поверхности Луны на него действует сила тяжести 7,52 Н. Какая сила тяжести будет действовать на это тело на поверхности Земли? Ускорение свободного падения на Луне — 1,6 м/с 2 .

2. Можно ли, воспользовавшись законом всемирного тяготения, рассчитать силу притяжения двух океанских лайнеров (см. рисунок)?

3. Как изменится сила гравитационного притяжения между двумя шариками, если один из них заменить другим, вдвое большей массы?

4. Измерив гравитационную постоянную, Г. Кавендиш смог определить массу Земли, после чего гордо заявил: «Я взвесил Землю».

Определите массу Земли, зная ее радиус (R З « 6400 км), ускорение свободного падения на ее поверхности и гравитационную постоянную.

5. Определите ускорение свободного падения на высоте, которая равна трем радиусам Земли.

6. Определите гравитационное ускорение на поверхности планеты, масса и радиус которой в два раза больше, чем масса и радиус Земли.

7. Воспользуйтесь дополнительными источниками информации и узнайте об ускорении свободного падения на поверхности планет Солнечной системы. На какой планете вы будете меньше весить? Будет ли при этом меньше ваша масса?

8. Уравнение движения тела: χ = -5ί + 5ί 2 . Каковы начальная скорость и ускорение движения тела? Через какой интервал времени тело изменит направление своего движения?

Экспериментальное задание

Центр тяжести тела неправильной геометрической формы можно определить, подвешивая его поочередно за любые две крайние точки (см. рисунок). Вырежьте из плотной бумаги или картона фигурку произвольной формы и определите ее центр тяжести. Поместите фигурку центром тяжести на острие иглы или стержня авторучки. Убедитесь, что фигурка находится в равновесии. Запишите план проведения эксперимента.

Физика и техника в Украине

одесский национальный политехнический университет, основанный в 1918 г., сегодня — одно из ведущих технических учебных заведений Украины.

С Одесской политехникой связаны имена таких ученых, как лауреат Нобелевской премии И. Е. Тамм, академики Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси, А. Г. Амелин, М. А. Аганин, профессоры К. С. Завриев, Ч. Д. Кларк, И. Ю. Тимченко и др.

В Одесском политехническом университете учились и работали выдающиеся инженеры, конструкторы, ученые, изобретатели: В. И. Атрощенко, Г. К. Боресков, А. А. Эннан, А. Э. Нудельман, А. Ф. Дащенко, Л. И. Гутенмахер, Г. К. Суслов, В. В. Ажогин, Л. И. Панов, Б. С. Пристер, А. В. Усов, А. В. Якимов и др.

Основные направления научных исследований и подготовки кадров Одесской политехники — машиностроение, энергетика, химические технологии, компьютерно-интегрированные системы управления, радиоэлектроника, электромеханика, информационные технологии, телекоммуникации.

С 2010 г. ректор университета — Геннадий Александрович Оборский, доктор технических наук, профессор, известный специалист в области динамики и надежности технологических систем.

Это материал учебника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Закон всемирного тяготения открыл И. Ньютоном:

Два тела притягиваются друг к другу с , прямо пропорциональной произведению их и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Описание закона всемирного тяготения

Коэффициент — это гравитационная постоянная. В системе СИ гравитационная постоянная имеет значение:

Эта постоянная, как видно, очень мала, поэтому силы тяготения между телами, имеющими небольшие массы, тоже малы и практически не ощущаются. Однако движение космических тел полностью определяется гравитацией. Наличие всемирного тяготения или, другими словами, гравитационного взаимодействия объясняет, на чем «держатся» Земля и планеты, и почему они двигаются вокруг Солнца по определенным траекториям, а не улетают от него прочь. Закон всемирного тяготения позволяет определить многие характеристики небесных тел – массы планет, звезд, галактик и даже черных дыр. Этот закон позволяет с большой точностью рассчитать орбиты планет и создать математическую модель Вселенной.

С помощью закона всемирного тяготения также можно рассчитать космические скорости. Например, минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью Земли, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите – 7,9 км/с (первая космическая скорость). Для того, чтобы покинуть Землю, т.е. преодолеть ее гравитационное притяжение, тело должно иметь скорость 11,2 км/с, (вторая космическая скорость).

Гравитация является одним из самых удивительных феноменов природы. В отсутствии сил гравитации существование Вселенной было бы невозможно, Вселенная не могла бы даже возникнуть. Гравитация ответственна за многие процессы во Вселенной – ее рождение, существование порядка вместо хаоса. Природа гравитации до сих пор до конца неразгаданна. До настоящего времени никто не смог разработать достойный механизм и модель гравитационного взаимодействия.

Сила тяжести

Частным случаем проявления гравитационных сил является сила тяжести.

Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз (по направлению к центру Земли).

Если на тело действует сила тяжести, то тело совершает . Вид движения зависит от направления и модуля начальной скорости.

С действием силы тяжести мы сталкиваемся каждый день. , через некоторое время оказывается на земле. Книга, выпущенная из рук, падает вниз. Подпрыгнув, человек не улетает в открытый космос, а опускается вниз, на землю.

Рассматривая свободное падение тела вблизи поверхности Земли как результат гравитационного взаимодействия этого тела с Землей, можно записать:

откуда ускорение свободного падения:

Ускорение свободного падения не зависит от массы тела, а зависит от высоты тела над Землей. Земной шар немного сплюснут у полюсов, поэтому тела, находящиеся около полюсов, расположены немного ближе к центру Земли. В связи с этим ускорение свободного падения зависит от широты местности: на полюсе оно немного больше, чем на экваторе и других широтах (на экваторе м/с , на Северном полюсе экваторе м/с .

Эта же формула позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массой и радиусом .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1 (задача о «взвешивании» Земли)

Задание	Радиус Земли км, ускорение свободного падения на поверхности планеты м/с . Используя эти данные, оценить приближенно массу Земли.
Решение	Ускорение свободного падения у поверхности Земли: откуда масса Земли: В системе Си радиус Земли м. Подставив в формулу численные значения физических величин, оценим массу Земли:
Ответ	Масса Земли кг.

ПРИМЕР 2

Задание

Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте 1000 км от поверхности Земли. С какой скоростью движется спутник? За какое время спутник совершит один полный оборот вокруг Земли?

Решение

По , сила, действующая на спутник со стороны Земли, равна произведению массы спутника на ускорение, с которым он движется: Со стороны земли на спутник действует сила гравитационного притяжения, которая по закону всемирного тяготения равна: где и массы спутника и Земли соответственно. Так как спутник находится на некоторой высоте над поверхностью Земли, расстояние от него до центра Земли: где радиус Земли.

Исаак Ньютон выдвинул предположение, что между любыми телами в природе существуют силы взаимного притяжения. Эти силы называют силами гравитации или силами всемирного тяготения . Сила несмирного тяготения проявляется в космосе, Солнечной системе и на Земле.

Закон всемирного тяготения

Ньютон обобщил законы движения небесных тел и выяснил, что сила \(F \) равна:

\[ F = G \dfrac{m_1 m_2}{R^2} \]

где \(m_1 \) и \(m_2 \) - массы взаимодействующих тел, \(R \) - расстояние между ними, \(G \) - коэффициент пропорциональности, который называется гравитационной постоянной . Численное значение гравитационной постоянной опытным путем определил Кавендиш, измеряя силу взаимодействия между свинцовыми шарами.

Физический смысл гравитационной постоянной вытекает из закона всемирного тяготения. Если \(m_1 = m_2 = 1 \text{кг} \) , \(R = 1 \text{м} \) , то \(G = F \) , т. е. гравитационная постоянная равна силе, с которой притягиваются два тела по 1 кг на расстоянии 1 м.

Численное значение:

\(G = 6,67 \cdot{} 10^{-11} Н \cdot{} м^2/ кг^2 \) .

Силы всемирного тяготения действуют между любыми телами в природе, но ощутимыми они становятся при больших массах (или если хотя бы масса одного из тел велика). Закон же всемирного тяготения выполняется только для материальных точек и шаров (в этом случае за расстояние принимается расстояние между центрами шаров).

Сила тяжести

Частным видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле (или к другой планете). Эту силу называют силой тяжести . Под действием этой силы все тела приобретают ускорение свбодного падения.

В соответствии со вторым законом Ньютона \(g = F_Т /m \) , следовательно, \(F_T = mg \) .

Если M – масса Земли, R – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна

\(F = G \dfrac{M}{R^2}m = mg \) .

Сила тяжести всегда направлена к центру Земли. В зависимости от высоты \(h \) над поверхностью Земли и географической широты положения тела ускорение свободного падения приобретает различные значения. На поверхности Земли и в средних широтах ускорение свободного падения равно 9,831 м/с 2 .

Вес тела

В технике и быту широко используется понятие веса тела.

Вес тела обозначается \(P \) . Единица веса - ньютон (Н ). Так как вес равен силе, с которой тело действует на опору, то в соответствии с третьим законом Ньютона по величине вес тела равен силе реакции опоры. Поэтому, чтобы найти вес тела, необходимо определить, чему равна сила реакции опоры.

При этом предполагается, что тело неподвижно относительно опоры или подвеса.

Вес тела и сила тяжести отличаются по своей природе: вес тела является проявлением действия межмолекулярных сил, а сила тяжести имеет гравитационную природу.

Состояние тела, в котором его вес равен нулю, называют невесомостью . Состояние невесомости наблюдается в самолете или космическом корабле при движении с ускорением свободного падения независимо от направления и значения скорости их движения. За пределами земной атмосферы при выключении реактивных двигателей на космический корабль действует только сила всемирного тяготения. Под действием этой силы космический корабль и все тела, находящиеся в нем, движутся с одинаковым ускорением, по¬этому в корабле наблюдается состояние невесомости.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Любые два тела притягиваются друг к другу по той лишь одной причине, что они имеют массу. Эта сила притяжения называется силой тяготения или гравитационной силой.

1.11.1 Закон всемирного тяготения

Гравитационное взаимодействие любых двух тел во Вселенной подчиняется достаточно простому закону.

Закон всемирного тяготения. Две материальные точки массами m1 и m2 притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

		m1 m2

Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Это фундаментальная константа, и её численное значение было определено на основе эксперимента Генри Кавендиша:

G = 6;67 10 11 Н м 2 :

кг2 Порядок величины гравитационной постоянной объясняет, почему мы не замечаем взаим-

ного притяжения окружающих нас предметов: гравитационные силы оказываются слишком малыми при небольших массах тел. Мы наблюдаем лишь притяжение предметов к Земле, масса которой грандиозна и равна примерно 6 1024 кг.

Формула (1.58 ), будучи справедливой для материальных точек, перестаёт быть верной, если размерами тел пренебречь нельзя. Имеются, однако, два важных для практики исключения.

1. Формула (1.58 ) справедлива, если тела являются однородными шарами. Тогда r расстояние между их центрами. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей центры шаров.

2. Формула (1.58 ) справедлива, если одно из тел однородный шар, а другое материальная точка, находящаяся вне шара. Тогда r расстояние от точки до центра шара. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей точку с центром шара.

Второй случай особенно важен, так как позволяет применять формулу (1.58 ) для силы притяжения тела (например, искусственного спутника) к планете.

1.11.2 Сила тяжести

Предположим, что тело находится вблизи некоторой планеты. Сила тяжести это сила гравитационного притяжения, действующая на тело со стороны планеты. В подавляющем большинстве случаев сила тяжести это сила притяжения к Земле.

Пусть тело массы m лежит на поверхности Земли. На тело действует сила тяжести mg, где g ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. С другой стороны, считая Землю однородным шаром, можно выразить силу тяжести по закону всемирного тяготения:

Эта же формула, разумеется, позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массы M и радиуса R.

Если тело находится на высоте h над поверхностью планеты, то для силы тяжести получаем:

Mm mg(h) = G (R + h) 2 :

Здесь g(h) ускорение свободного падения на высоте h:

	(R + h)2		(R + h)2

В последнем равенстве мы воспользовались соотношением

GM = gR2 ;

которое следует из формулы (1.59 ).

1.11.3 Вес тела. Невесомость

Рассмотрим тело, находящееся в поле силы тяжести. Предположим, что есть опора или подвес, препятствующие свободному падению тела. Вес тела это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Подчеркнём, что вес приложен не к телу, а к опоре (подвесу).

Рис. 1.26. Сила тяжести, реакция опоры и вес тела

На рис. 1.26 изображено тело на опоре. Со стороны Земли на тело действует сила тяжести m~g (в случае однородного тела простой формы сила тяжести приложена в центре симметрии

и ~ равны по модулю () и противоположны по направлению.

Предположим, что тело покоится. Тогда равнодействующая сил, приложенных к телу, равна

m~g + N = 0) m~g = N) mg = N:

С учётом равенства N = P получаем mg = P . Стало быть, если тело покоится, то его вес равен по модулю силе тяжести.

Рассмотрим две стандартные задачи, которые обязательно нужно уметь решать.

Задача. Тело массы m вместе с опорой движется с ускорением a, направленным вертикально вверх. Найти вес тела.

Решение. Направим ось Y вертикально вверх (рис. 1.27 ).

Рис. 1.27. Вес тела больше силы тяжести Запишем второй закон Ньютона:

Перейдём к проекциям на ось Y:

Отсюда N = mg + ma = m(g + a). Следовательно, вес тела

Как видим, вес тела больше силы тяжести. Такое состояние называется перегрузкой.

Задача. Тело массы m вместе с опорой движется с ускорением a 6 g , направленным вертикально вниз. Найти вес тела.

Решение. Направим ось Y вертикально вниз (рис. 1.28 ).

Рис. 1.28. Вес тела меньше силы тяжести Схема решения та же. Начинаем со второго закона Ньютона:

Переходим к проекциям на ось Y:

Отсюда N = mg ma = m(g a). Следовательно, вес тела

P = m(g a):

В данном случае вес тела меньше силы тяжести. При a = g (свободное падение тела с опорой) вес тела обращается в нуль. Это состояние невесомости, при котором тело вообще не давит на опору.

1.11.4 Искусственные спутники

Для того, чтобы искусственный спутник мог совершать орбитальное движение вокруг планеты, ему нужно сообщить определённую скорость. Найдём скорость кругового движения спутника на высоте h над поверхностью планеты. Масса планеты M, её радиус R (рис. 1.29 ).

	Спутник массы m

Планета массы M

Рис. 1.29. Спутник на круговой орбите

Спутник будет двигаться под действием единственной силы ~ силы всемирного тяготения,

направленной к центру планеты. Туда же направлено и ускорение спутника центростремительное ускорение

a = R + h:

Обозначив через m массу спутника, запишем второй закон Ньютона в проекции на ось,

Отсюда получаем выражение для скорости:

v = GM : R + h

Первая космическая скорость это максимальная скорость кругового движения спутника, отвечающая высоте h = 0. Для первой космической скорости имеем:

GM v 1 = R ;

или, с учётом формулы (1.59 ),

v1 = gR:

Для Земли приближённо получаем:

v1 = 10 6400000 = 8000 м/с = 8 км/с.