يترك رهي بعض العلاقات الثنائية في المجموعة X، وx، y، z هي أي من عناصرها. إذا كان العنصر x في علاقة R مع العنصر y، فاكتب xRy.

1. تسمى العلاقة R على المجموعة X انعكاسية إذا كان كل عنصر في المجموعة في هذه العلاقة مع نفسه.

R -انعكاس على X<=>xRx لأي x€ X

إذا كانت العلاقة R انعكاسية، فهناك حلقة عند كل قمة من الرسم البياني. على سبيل المثال، علاقات المساواة والتوازي للقطاعات هي علاقات انعكاسية، لكن علاقات التعامد و"الأطول" ليست انعكاسية. وينعكس هذا في الرسوم البيانية في الشكل 42.

2. تسمى العلاقة R في المجموعة X متماثلة إذا كان العنصر x في علاقة معينة مع العنصر y، يتبع ذلك العنصر y في نفس العلاقة مع العنصر x.

R - بشكل متناظر على (xYay =>y Rx)

يحتوي الرسم البياني للعلاقة المتماثلة على أسهم مقترنة تسير في اتجاهين متعاكسين. علاقات التوازي والتعامد والمساواة للقطاعات تكون متناظرة، ولكن العلاقة "الأطول" ليست متناظرة (الشكل 42).

3. تسمى العلاقة R في مجموعة X غير متماثلة إذا، بالنسبة للعناصر المختلفة x و y من المجموعة X، من حقيقة أن العنصر x في علاقة معينة مع العنصر y، يترتب على ذلك أن العنصر y ليس كذلك في هذه العلاقة مع العنصر x.

R - غير متماثل على X « (xRy و xy ≠ yRx)

ملاحظة: يشير الشريط العلوي إلى نفي العبارة.

في الرسم البياني للعلاقات غير المتماثلة، لا يمكن ربط نقطتين إلا بسهم واحد. مثال على هذه العلاقة هو العلاقة "الأطول" للقطاعات (الشكل 42). علاقات التوازي والتعامد والمساواة ليست غير متماثلة. هناك علاقات ليست متماثلة ولا غير متماثلة، على سبيل المثال علاقة “أن تكون أخًا” (الشكل 40).

4. تسمى العلاقة R في مجموعة X متعدية إذا كان العنصر x في علاقة معينة مع العنصر y والعنصر y في هذه العلاقة مع العنصر z، فإنه يترتب على ذلك أن العنصر x موجود في علاقة معينة مع العنصر Z

R - متعدية على A≠ (xRy و yRz=> xRz)

في الرسوم البيانية لعلاقات التوازي والمساواة "الأطول" في الشكل 42، يمكنك ملاحظة أنه إذا انتقل السهم من العنصر الأول إلى العنصر الثاني ومن الثاني إلى الثالث، فمن المؤكد أن هناك سهمًا ينتقل من العنصر الأول العنصر إلى الثالث. هذه العلاقات متعدية. عمودي القطاعات ليس له خاصية العبور.

هناك خصائص أخرى للعلاقات بين عناصر من نفس المجموعة لا نأخذها في الاعتبار.

يمكن أن يكون للعلاقة نفسها عدة خصائص. لذلك، على سبيل المثال، في مجموعة من الأجزاء، تكون العلاقة "المتساوية" انعكاسية، ومتماثلة، ومتعدية؛ العلاقة "المزيد" غير متماثلة ومتعدية.

إذا كانت العلاقة على المجموعة X انعكاسية ومتماثلة ومتعدية، فهي علاقة تكافؤ في هذه المجموعة. مثل هذه العلاقات تقسم المجموعة X إلى فئات.

تتجلى هذه العلاقات، على سبيل المثال، عند إكمال المهام: "التقط شرائح متساوية الطول ورتبها في مجموعات"، "رتب الكرات بحيث يحتوي كل صندوق على كرات من نفس اللون". تحدد علاقات التكافؤ ("أن تكون متساوية في الطول"، "أن تكون من نفس اللون") في هذه الحالة تقسيم مجموعات الخطوط والكرات إلى فئات.

إذا كانت العلاقة في المجموعة 1 متعدية وغير متماثلة، فإنها تسمى علاقة ترتيبية في هذه المجموعة.

تسمى المجموعة التي لها علاقة ترتيبية معينة بالمجموعة المرتبة.

على سبيل المثال، عند إكمال المهام: "مقارنة الشرائط في العرض وترتيبها من الأضيق إلى الأوسع"، "مقارنة الأرقام وترتيب بطاقات الأرقام بالترتيب"، يقوم الأطفال بترتيب عناصر مجموعات الشرائط وبطاقات الأرقام استخدام العلاقات النظامية؛ "ليكون أوسع"، "ليتبع".

بشكل عام، تلعب علاقات التكافؤ والنظام دورًا كبيرًا في تكوين الأفكار الصحيحة لدى الأطفال حول تصنيف المجموعات وترتيبها. بالإضافة إلى ذلك، هناك العديد من العلاقات الأخرى التي ليست علاقات تكافؤ ولا علاقات ترتيب.

6. ما هي الخاصية المميزة للمجموعة؟

7. في أي علاقات يمكن أن توجد المجموعات؟ أعط تفسيراً لكل حالة وصوّرها باستخدام دوائر أويلر.

8. تحديد مجموعة فرعية. أعط مثالا على مجموعات، إحداها هي مجموعة فرعية من أخرى. اكتب علاقتهما باستخدام الرموز.

9. تحديد المجموعات المتساوية. أعط أمثلة على مجموعتين متساويتين. اكتب علاقتهما باستخدام الرموز.

10. تحديد تقاطع مجموعتين وتصويره باستخدام دوائر أويلر لكل حالة على حدة.

11. تعريف اتحاد مجموعتين وتصويره باستخدام دوائر أويلر لكل حالة على حدة.

12. حدد الفرق بين مجموعتين ورسمه باستخدام دوائر أويلر لكل حالة على حدة.

13. تعريف المكمل وتصويره باستخدام دوائر أويلر.

14. ما يسمى تقسيم مجموعة إلى فئات؟ اذكر شروط التصنيف الصحيح.

15. ما يسمى المراسلات بين مجموعتين؟ تسمية طرق تحديد المراسلات.

16. ما هو نوع المراسلات التي تسمى "واحد لواحد"؟

17. ما هي المجموعات التي تسمى متساوية؟

18. ما هي المجموعات التي تسمى متكافئة؟

19. قم بتسمية طرق تحديد العلاقات في المجموعة.

20. ما العلاقة على مجموعة تسمى انعكاسية؟

21. ما هي العلاقة على مجموعة تسمى متماثل؟

22. ما هي العلاقة على المجموعة التي تسمى غير متماثلة؟

23. ما هي العلاقة على مجموعة تسمى متعدية؟

24. تحديد علاقة التكافؤ.

25. تحديد علاقة الطلب.

26. ما هي المجموعة التي تسمى مرتبة؟

خصائص العلاقات:

1) الانعكاسية.

2) التماثل.

3) العبور.

4) الترابط.

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى عاكس،إذا كان حول كل عنصر من عناصر المجموعة Xيمكننا القول أنه على علاقة رمع نفسي: Xآر إكس.إذا كانت العلاقة انعكاسية، فهناك حلقة عند كل قمة من الرسم البياني. على العكس من ذلك، فإن الرسم البياني الذي يحتوي كل قمة على حلقة هو رسم بياني للعلاقة الانعكاسية.

ومن أمثلة العلاقات الانعكاسية، علاقة "المضاعف" على مجموعة الأعداد الطبيعية (كل رقم هو مضاعف لنفسه)، وعلاقة تشابه المثلثات (كل مثلث يشبه نفسه)، وعلاقة "المساواة" ( كل رقم يساوي نفسه)، الخ.

هناك علاقات لا تمتلك خاصية الانعكاسية، مثل علاقة تعامد القطع: أب، با(لا يوجد قطعة واحدة يمكن القول أنها متعامدة مع نفسها) . ولذلك، لا توجد حلقة واحدة في الرسم البياني لهذه العلاقة.

إن العلاقة "الأطول" للقطاعات، و"أكثر بمقدار 2" للأعداد الطبيعية، وما إلى ذلك، لا تمتلك خاصية الانعكاسية.

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى مضادة للانعكاس، إذا كان لأي عنصر من المجموعة Xدائما كاذبة Xآر إكس: .

هناك علاقات ليست انعكاسية ولا مضادة للانعكاس. مثال على مثل هذه العلاقة هو العلاقة "نقطة Xمتناظرة لهذه النقطة فيمستقيم نسبيا ل"، محددة على مجموعة من نقاط المستوى. والواقع أن جميع نقاط خط مستقيم لمتناظرة مع نفسها، والنقاط التي لا تقع على خط مستقيم ل،أنفسهم ليسوا متماثلين.

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى متماثل, إذا تحقق الشرط: من كون العنصر Xيتعلق بالعنصر ذويترتب على ذلك العنصر ذفي علاقة رمع العنصر العاشر:xRyyRx.

يحتوي الرسم البياني للعلاقة المتماثلة على الميزة التالية: جنبًا إلى جنب مع كل سهم قادم منه Xل ذ، يحتوي الرسم البياني على سهم يبدأ من ذل X(الشكل 35).

من أمثلة العلاقات المتماثلة ما يلي: علاقة "توازي" القطع، علاقة "تعامد" القطع، علاقة "تساوي" القطع، علاقة تشابه المثلثات، علاقة "تساوي" القطع الكسور، الخ.

هناك علاقات لا تمتلك خاصية التناظر.

في الواقع، إذا كان الجزء Xأطول من المقطع في، ثم المقطع فيلا يمكن أن يكون أطول من المقطع X. يتميز الرسم البياني لهذه العلاقة بخصوصية: فالسهم الذي يربط القمم موجه في اتجاه واحد فقط.

سلوك رمُسَمًّى غير متماثل، إذا كان لأي عناصر Xو ذمن الحقيقة xRyيجب أن تكون كاذبة yRx: : xRyyRx.

بالإضافة إلى العلاقة "الأطول"، هناك علاقات أخرى غير متماثلة على العديد من القطاعات. على سبيل المثال، العلاقة "أكبر من" للأرقام (if Xأكثر في، الذي - التي فيلا يمكن أن يكون هناك المزيد X)، والموقف "المزيد عن"، وما إلى ذلك.

هناك علاقات ليس لها خاصية التماثل ولا خاصية عدم التماثل.

العلاقة R على المجموعة Xمُسَمًّى متعد،إذا من هذا العنصر Xفي علاقة رمع العنصر ذ،والعنصر ذفي علاقة رمع العنصر ضويترتب على ذلك العنصر Xفي علاقة رمع العنصر ض: xRyو يرزxRz.

رسم بياني للعلاقة متعدية مع كل زوج من الأسهم القادمة منه Xل ذو من ذل ض، يحتوي على سهم ينطلق من Xل ض.

العلاقة "الأطول" على مجموعة من المقاطع لها أيضًا خاصية العبور: إذا كانت القطعة أأطول من المقطع ب، القطعة المستقيمة بأطول من المقطع مع، ثم المقطع أأطول من المقطع مع.إن علاقة "المساواة" على مجموعة من القطع لها أيضًا خاصية التعدية: (أ=ب، ب=ج)(أ=ج).

هناك علاقات لا تمتلك خاصية العبور. مثل هذه العلاقة هي، على سبيل المثال، العلاقة العمودية: إذا كانت قطعة أعمودي على هذا الجزء ب، والجزء بعمودي على هذا الجزء مع، ثم الأقسام أو معليس عموديا!

وهناك خاصية أخرى للعلاقات تسمى خاصية الترابط، والعلاقة التي لها هذه تسمى خاصية الترابط.

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى متصل,إذا لأية عناصر Xو ذمن هذه المجموعة يتم استيفاء الشرط التالي: إذا Xو ذمختلفة، ثم سواء Xفي علاقة رمع العنصر ذ، أو العنصر ذفي علاقة رمع العنصر X. باستخدام الرموز يمكن كتابة هذا مثل هذا: xyxRyأو yRx.

على سبيل المثال، العلاقة "أكبر من" للأعداد الطبيعية لها خاصية الترابط: بالنسبة لأي أرقام مميزة x وy يمكن ذكرها إما س>ص، أو ذ>س.

في الرسم البياني للعلاقات المتصلة، يتم توصيل أي رأسين بواسطة سهم. والبيان المعاكس صحيح أيضا.

هناك علاقات لا تمتلك خاصية الترابط. مثل هذه العلاقة، على سبيل المثال، هي علاقة قابلية القسمة على مجموعة الأعداد الطبيعية: يمكننا تسمية هذه الأعداد x و ذمهما كان الرقم Xليس مقسوما على الرقم ذ، لا يوجد رقم ذليس مقسوما على الرقم X(أعداد 17 و 11 , 3 و 10 إلخ.) .

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة. على مجموعة س=(1، 2، 4، 8، 12)يتم إعطاء العلاقة "الرقم". Xمتعددة من العدد ذ" لنقم بإنشاء رسم بياني لهذه العلاقة وصياغة خصائصها.

يقال إن علاقة تساوي الكسور هي علاقة تكافؤ.

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى علاقة التكافؤ,إذا كان لديه في نفس الوقت خصائص الانعكاسية والتماثل والعبور.

ومن أمثلة علاقات التكافؤ: علاقات تساوي الأشكال الهندسية، وعلاقات توازي الخطوط (بشرط أن تعتبر الخطوط المتطابقة متوازية).

في علاقة "مساواة الكسور" التي تمت مناقشتها أعلاه، المجموعة Xمقسمة إلى ثلاث مجموعات فرعية: ( ; ; }, {; } , (). هذه المجموعات الفرعية لا تتقاطع، واتحادها يتزامن مع المجموعة X، أي. لدينا قسم من المجموعة إلى فئات.

لذا، إذا تم إعطاء علاقة تكافؤ على مجموعة X، فإنها تولد قسمًا من هذه المجموعة إلى مجموعات فرعية منفصلة زوجية - فئات التكافؤ.

وبذلك نكون قد أثبتنا أن علاقة المساواة على المجموعة
X=( ;; ; ; ; ) يتوافق مع تقسيم هذه المجموعة إلى فئات التكافؤ، كل منها يتكون من كسور متساوية مع بعضها البعض.

يعد مبدأ تقسيم المجموعة إلى فئات باستخدام بعض علاقات التكافؤ أحد المبادئ المهمة في الرياضيات. لماذا؟

أولاً، المكافئ يعني المكافئ، القابل للتبديل. ولذلك، فإن عناصر فئة التكافؤ نفسها قابلة للتبديل. وبالتالي فإن الكسور الموجودة في نفس فئة التكافؤ (؛ ; ) ، لا يمكن تمييزها من وجهة نظر العلاقة بين المساواة والكسر يمكن استبداله بآخر، على سبيل المثال . وهذا الاستبدال لن يغير نتيجة الحسابات.

ثانيا، نظرا لأن فئة التكافؤ تحتوي على عناصر لا يمكن تمييزها من وجهة نظر بعض العلاقات، فمن المعتقد أن فئة التكافؤ يتم تحديدها من قبل أي من ممثليها، أي. عنصر تعسفي من الطبقة. وبالتالي يمكن تحديد أي فئة من الكسور المتساوية عن طريق تحديد أي كسر ينتمي إلى هذه الفئة. تسمح لك فئة التكافؤ بواسطة ممثل واحد بدراسة مجموعة من الممثلين من فئات التكافؤ بدلاً من جميع عناصر المجموعة. على سبيل المثال، فإن علاقة التكافؤ "أن يكون لها نفس عدد القمم"، المحددة على مجموعة من المضلعات، تولد تقسيم هذه المجموعة إلى فئات من المثلثات، والرباعيات، والخماسيات، وما إلى ذلك. تعتبر الخصائص المتأصلة في فئة معينة على أحد ممثليها.

ثالثًا، يتم استخدام تقسيم المجموعة إلى فئات باستخدام علاقة التكافؤ لتقديم مفاهيم جديدة. على سبيل المثال، يمكن تعريف مفهوم "حزمة الخطوط" على أنه ما تشترك فيه الخطوط المتوازية مع بعضها البعض.

نوع آخر مهم من العلاقات هو علاقة الترتيب. دعونا نفكر في المشكلة X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) العلاقة "لها نفس الباقي عند القسمة عليها 3 " تولد هذه العلاقة قسمًا من المجموعة Xإلى فئات: جميع الأرقام سوف تقع في واحد، عند قسمتها على 3 اتضح أنه الباقي 0 (هذه أرقام 3, 6, 9 ). في الثانية - الأرقام عند القسمة على 3 الباقي هو 1 (هذه أرقام 4, 7, 10 ). والثالث سيحتوي على جميع الأرقام التي، عند القسمة عليها 3 الباقي هو 2 (هذه أرقام 5, 8 ). وبالفعل فإن المجموعات الناتجة لا تتقاطع ويتزامن اتحادها مع المجموعة X. ولذلك، فإن العلاقة "لها نفس الباقي عند القسمة على 3 "، محدد في المجموعة X، هي علاقة تكافؤ.

لنأخذ مثالاً آخر، يمكن فرز العديد من الطلاب في الفصل حسب الطول أو العمر. لاحظ أن هذه العلاقة لها خصائص عدم التماثل والعبور. أو الجميع يعرف ترتيب الحروف في الأبجدية. يتم توفيره من خلال الموقف "ينبغي".

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى علاقة أمر صارم، إذا كان له في نفس الوقت خصائص عدم التماثل والعبور. على سبيل المثال العلاقة " X< ذ».

إذا كانت العلاقة لها خصائص الانعكاسية وعدم التماثل والعبورية، فستكون كذلك علاقة غير صارمة. على سبيل المثال العلاقة " Xذ».

تتضمن أمثلة علاقات الترتيب ما يلي: العلاقة "أقل من" على مجموعة من الأعداد الطبيعية، والعلاقة "الأقصر" على مجموعة من القطع. إذا كانت العلاقة المرتبة لها أيضًا خاصية الترابط، فيقال إنها كذلك علاقة ترتيب خطية. على سبيل المثال، العلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الطبيعية.

مجموعة من Xمُسَمًّى منظم،إذا تم تحديد علاقة أمر عليها.

على سبيل المثال، كثير س={2, 8, 12, 32 ) يمكن طلبها باستخدام العلاقة "أقل من" (الشكل 41)، أو يمكن القيام بذلك باستخدام العلاقة "المتعددة" (الشكل 42). ولكن، كونها علاقات ترتيبية، فإن العلاقات "أقل من" و"متعددة" تنظم مجموعة الأعداد الطبيعية بطرق مختلفة. تتيح لك العلاقة "أقل من" مقارنة أي رقمين من المجموعة Xلكن العلاقة "المتعددة" لا تمتلك هذه الخاصية. حسنا، بضعة أرقام. 8 و 12 لا علاقة له بالعلاقة "المتعددة": لا يمكن أن يقال ذلك 8 عديد 12 أو 12 عديد 8.

لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن جميع العلاقات تنقسم إلى علاقات تكافؤ وعلاقات نظام. هناك عدد كبير من العلاقات التي ليست علاقات تكافؤ ولا علاقات ترتيب.

إن مفهوم العلاقة، إلى جانب مفهوم المجموعة، "يتخلل" جميع الرياضيات. ومن الناحية البديهية، تُفهم العلاقة على أنها صلة بين الأشياء. مهمتنا هي، باستخدام تركيبات نظرية المجموعات التي تم صياغتها أعلاه، أن نحدد باللغة الرياضية ما هو المقصود في الرياضيات بمصطلح "العلاقة".

العلاقات الثنائية على مجموعة

دع مجموعة تعطى أ.اتصال العنصر الحناءمجموعات أعلى غرار زوج (دو>). إذا كان العنصر Xمتصل مع ذ،هذا يعني أن لدينا زوجًا (l:,y) كعنصر في مجموعة ما؛ إذا د؛ لا علاقة لها فيمما يعني أن الزوج (l:^) ليس كائنًا في المجموعة. لذلك، لدينا التعريف التالي.

العلاقة الثنائية في المجموعة أهي مجموعة تعسفية من أزواج العناصر من أ.

وبعبارة أخرى، علاقة ثنائية على مجموعة أ- هي مجموعة فرعية من المنتج المباشر الفأس أ = أ 2.على وجه الخصوص، مجموعة نفسها أ2من جميع الأزواج هي علاقة ثنائية.

قياسًا على العلاقة الثنائية (أو ذات المكانتين)، يمكننا النظر فيها ن-العلاقة المحليةعلى المجموعة كمجموعة فرعية من المنتج المباشر أ".سنتناول بشكل رئيسي العلاقات الثنائية، ولكن من أجل الإيجاز نقول ببساطة: “علاقة على مجموعة أ".

دعونا نشير إلى علاقة ثنائية تعسفية بالحرف اليوناني ص.

أنا أطير )e p، فيقولون أن l" نسبة إلى p مع ذ،والكتابة

إذا (du)?P> إذن لدينا نفي العبارة المقابلة. في هذه الحالة، جنبًا إلى جنب مع الإدخال ~|(hru) (أو hru) يكتبون إلى الطبيب، مع شطب علامة العلاقة.

مثال 8.1.1. النظر في المجموعة أ= (1،2،3،4،5). الكثير من الأزواج

يحدد على أالعلاقة "أقل من" المشار إليها بالعلامة<.>

11 وفي نفس المجموعة يمكننا أن نفكر في مجموعة أخرى من الأزواج

فهو يحدد علاقة المساواة.

مثال 8.1.2. خذ بعين الاعتبار المجموعة (N، Z، Q، I، R) من المجموعات العددية الأساسية ومجموعة الأزواج

لدينا العلاقة التي حددناها في الفقرة 2.2 على أنها علاقة التضمين الدقيق للمجموعات. لاحظ أنه، على سبيل المثال، الزوج (Q.I) لا يقع في المجموعة المشار إليها، حيث أن Qczl، علاوة على ذلك، فإن هذه المجموعات لا تتقاطع.

مثال 8.1.3. نظرا لمجموعة من الكلمات L = (تيار، قطة، صدمة، العد، الورنيش). خذ بعين الاعتبار هذه العلاقة:

ع = ((التيار، الصدمة)، (الصدمة، التيار)، (الصدمة، العد)، (الوتد، الصدمة)،

(وتد، ورنيش)، (ورنيش، وتد)، (قطة، وتد)، (وتد، قطة)).

يمكن التعبير عن هذه العلاقة بهذه الطريقة: كلمات المجموعة أتكون في علاقة p إذا وفقط إذا كان لديهم حرفين متطابقين تمامًا.

لاحظ أن أي مجموعة من الأزواج هي علاقة، سواء كان هناك وصف لفظي جيد للعلاقة أم لا.

بما أن العلاقة عبارة عن مجموعة، فيمكن تحديدها بواسطة خاصية مميزة، وبالتالي فإن الشبكة هي مسند ص (هو):ص = ((.*,>>) هـ 2 ص(س ص)).ويستخدم الترميز أيضا:

قرأوا: "g في علاقة مع فيإذا وفقط إذا كان صحيحا ر (هو)."

مثال 8.1.4.دعونا نحدد على المجموعة/! = (1،2،3،4،5) نسبة:

هنا ص (ص ص)= (ل+2=ص). دعونا نحدد هذه العلاقة من خلال سرد الأزواج:

مثال 8.1.5.دعونا نضعه على المجموعة ز(أو على مجموعة ن)العلاقة باستخدام الجملة: "هناك عدد صحيح /؟ هكذا س = ن ص".رمزياً يمكننا أن نكتب:

لدينا علاقة قابلية القسمة محددة مسبقًا، ويُشار إليها بالعلامة:. وتشمل هذه العلاقة أزواجاً مثل (6,2)، (6،3)، (4،4)، (111، -37) وغيرها. على عكس الأمثلة السابقة، هذه المجموعة من الأزواج لا نهائية، ولن يكون من الممكن سرد جميع الأزواج.

دعونا نفكر في أهم الخصائص التي يمكن أن تمتلكها العلاقات الثنائية في المجموعة.

العلاقة ص على مجموعة أمُسَمًّى عاكس، إذا كان هناك أي عنصر Xمن أيتعلق بـ p بنفسه، أي بالنسبة للجميع d؛ من أيتم تنفيذ LRT:

مثال 8.1.6.النظر في علاقة القسمة على المجموعة ز.لنأخذ عددًا صحيحًا تعسفيًا X.لأن س=س 9الذي - التي س':س.وهذا يعني أن أي عدد صحيح يقبل القسمة على نفسه: V.veZ (ل: ل).وبالتالي فإن علاقة القسمة هي علاقة انعكاسية.

بما أن أي مجموعة هي مجموعة فرعية من نفسها، فإن علاقة التضمين بين المجموعات تكون انعكاسية (على أي مجموعة من المجموعات).

العلاقة ص على مجموعة أمُسَمًّى com.aitireflexive، إذا لم يكن هناك عنصر من المجموعة أليس بالنسبة لـ p مع نفسه:

مثال 8.1.7. رمضاد للانعكاس، حيث لا يوجد عدد أقل من نفسه.

دعونا نقوم ببناء نفي الجملة "العلاقة p انعكاسية":

وبالتالي، فإن العلاقة p ليست انعكاسية إذا وفقط إذا كان هناك عنصر هيا,وهو ليس بالنسبة ل نفسه. الموقف الذي لا يكون انعكاسيًا لا يجب أن يكون انعكاسيًا.

مثال 8.1.8.النظر في العلاقة على المجموعة ص،تعطى بجملة "الرقم Xعكس الرقم ذ".رقم Xيسمى عكس الرقم ذ،إذا كان المبلغ س+صيساوي 0.

هذا الموقف ليس انعكاسيا. مثال مضاد: س=1. وبما أن 1 + 1*0، فإن الرقم 1 ليس عكس 1.

هذا الموقف ليس مضادًا للانعكاس. مثال مضاد: ,v=0. وبما أن 0+0=0، فإن الرقم 0 هو عكس 0.

العلاقة ص على مجموعة أمُسَمًّى متماثل، إذا كان من حقيقة ذلك Xيتعلق بـ p مع ذ،يتبع ذلك فييتعلق بـ p مع

مثال 8.1.9.من الهوية س+ص=ص+.xيلي العبارة التالية: لأية أرقام حقيقية Xو فيلو Xمقابل الخامس، ثم فيعكس X.وهذا يعني أن هذه العلاقة متناظرة. غالبًا ما يقولون ببساطة: "أرقام". Xو فيعكس."

العلاقة "الرقم" Xعدد أقل ذ"على مجموعة رغير متماثل: 3 أقل من 4، لكن 4 ليس أقل من 3.

العلاقة ص على مجموعة أمُسَمًّى غير متماثل، إذا لم يكن هناك عناصر مختلفة x و y من A،مثل ذلك ساعة,لم ينفذ

urgh:

مثال 8.1.10.العلاقة "أقل من" على مجموعة رغير متماثل.

يمكن صياغة تعريف العلاقة غير المتماثلة بطرق أخرى. دعونا نقدم التدوين التالي:

باستخدام جدول الحقيقة، يمكن إثبات أن الصيغة 1 ر ل م-ما يعادل الصيغة مل ك -> ر،والتي بدورها، وفقًا لقاعدة التضاد، تعادل 1 ر->~|(ل/ل ل).وبناءً على ذلك، يمكننا القول أن العلاقة p غير متماثلة إذا وفقط إذا تم استيفاء أحد الشروط المكافئة:

أ) من حقيقة ذلك hruو أورغ,يجب س = ص:

ب) لا يمكن أن تكون هناك عناصر مختلفة مرتبطة ببعضها البعض في وقت واحد.

مثال 8.1.11.دعونا نفكر في علاقة التضمين على عائلة عشوائية من المجموعات. منذ LsUl ص^س=>س=ص،فإن إدراج e هو علاقة غير متماثلة.

مثال 8.1.12.علاقة قابلية القسمة على المجموعة زليست متماثلة ولا غير متماثلة. بما أن 4:2، ولكن 2?4، فإن النسبة غير متماثلة. بما أن 2:(-2) و(-2):2، ولكن (-2)^2، فإن العلاقة ليست غير متماثلة.

ومع ذلك، في المجموعة N من الأعداد الطبيعية لدينا علاقة غير متماثلة: Vjt^eN (س:ص لو:س ->س=ص).اختبر هذه العبارة باستخدام تعريف قابلية القسمة.

العلاقة ص على مجموعة أمُسَمًّى متعد، إذا كان من حقيقة ذلك Xيتعلق بـ p مع ذ،أ فيفي العلاقة p مع z، ويترتب على ذلك أن V في العلاقة p مع ض:

مثال 8.1.13.علاقة القسمة متعدية (في كل من المجموعة Z والمجموعة N): س:ص ل ص: ض => س:ض.دعونا نظهر ذلك. يترك س:صو ص:ض.ثم x=puو ذ=كزلبعض الأعداد الصحيحة صو ل.ثم س = ن(كز) = (نك)ض = مز,أين تهو عدد صحيح. لهذا xz.

علاقة التضمين للمجموعات هي أيضًا متعدية: XCYل YcZ => XezZ.اثبت ذلك.

العلاقة "الأرقام" Xو فيالمعاكس" ليست متعدية. مكافحة المثال: س=2،ص=-2، 2=2. فالرقمان 2 و (-2) متقابلان، وكذلك (-2) و 2 متقابلان. لكن الأرقام س = 2و z=2 ns متقابلان.

مثال 8.1.14. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على العلاقات من الفقرة السابقة.

العلاقة من المثال 8.1.3 هي علاقة مضادة للانعكاس ومتماثلة. العلاقة من المثال 8.1.4 هي علاقة مضادة للانعكاس وغير متماثلة. ولا تعتبر أي من هذه العلاقات انتقالية. أثبت ذلك من خلال النظر في الأمثلة المضادة المناسبة.

بعض العلاقات التي تمتلك عددًا من الخصائص في نفس الوقت تُعطى أسماء عامة. من الأمثلة المذكورة أعلاه، علاقة التضمين للمجموعات c وعلاقة قابلية القسمة على المجموعة N لها في نفس الوقت خصائص الانعكاسية وعدم التماثل والتعدية، كما تمتلك العلاقة هذه الخصائص الثلاث "Xاقل او يساوي في"، المعرفة في المجموعة R (أو في أي مجموعة فرعية منها):

تسمى العلاقة الانعكاسية وغير المتماثلة والمتعدية علاقة النظام.

مجموعة من أ، والتي يتم فيها إعطاء علاقة من الترتيب p، تسمى مجموعة مرتبة. يكتبون (أ،ص).

حاليًا، تعد نظرية المجموعات المرتبة فرعًا كبيرًا من الرياضيات، حيث تم تخصيص كتب كاملة له. سنلاحظ فقط عددًا من ميزات مفهوم "المجموعة المرتبة".

ومن البديهي أن عبارة "مجموعة مرتبة" غالبًا ما تُفهم بالمعنى الضيق. دعونا نفكر في l-ku المرتب، المكون من عناصر مختلفة زوجية. على سبيل المثال، خمسة أحرف (III، K، O، L، A) تحدد كلمة SCHOOL. وفي هذه الحالة يفهم من عبارة "تكتب العناصر بترتيب معين" بمعنى أننا قمنا بترقيمها بالأعداد الطبيعية 1، 2، 3، 4، 5 ورتبناها بترتيب تصاعدي للأرقام. دعونا تعميم هذا المثال.

دعونا نحصل على مجموعة "-element". أ.عن طريق ترقيم العناصر بطريقة ما أ، أ 2 > أ،في الواقع نحصل على مجموعة مرتبة من خلال تحديد علاقة الطلب على النحو التالي:

وتفهم العلاقة على النحو التالي: أن العنصر Xمرتبطة بعنصر آخر ذ،يعني أن Xمكتوب في الصف إلى اليسار ش.

مثال 8.1.15.بالنظر إلى المجموعة /4=(a,b.c,d). الأربعة المرتبة من عناصرها المختلفة (b، c، a، d) ستعطي علاقة الترتيب التالية:

((ب، ب)، (ب، ج)، (ب، أ)، (ب، د)، (ج، ج)، (ج، أ)، (ج، د)، (أ، أ)، ( أ، د)، (د، د)).

لاحظ أن الترتيب لا يجب أن يحتوي على ما يسمى بخاصية الخطية.

مثال 8.1.16.دعونا نفكر في المجموعة أ =(2،4،6،8) نسبة القسمة :. حدد هذه العلاقة مع العديد من الأزواج. منذ ذلك الحين في أتحتوي على أعداد طبيعية فقط، إذن: علاقة ترتيبية. لدينا مجموعة مرتبة A، :).

لا يمكن تمثيل مثل هذا الترتيب في شكل أربعة عناصر مرتبة تتبع بعضها البعض. يمكنك تقديم رسم توضيحي للعلاقة باستخدام النقاط والأسهم: من النقطة Xبالضبط فيالسهم يؤدي إذا وفقط إذا س:ص.

خذ بعين الاعتبار الرقمين 6 و 4. لا يمكن لأي منهما القسمة على الآخر. يقولون أن هذه عناصر لا تضاهى.

دعونا على المجموعة أيتم إعطاء علاقة من الترتيب p . العناصر * و فيوتسمى قابلة للمقارنةإذا كانت إحدى العلاقتين على الأقل راضية hruأو urgh.

اطلب ص على المجموعة أمُسَمًّى خطي، إن وجد عنصرين من المجموعة أقابلة للمقارنة. تسمى المجموعة التي يتم تعريف الترتيب الخطي عليها أمر خطيا(أو سلسلة).

مثال 8.1.17.العلاقة R هي ترتيب خطي منذ Vx^yeR (× لذلك (ر،

مجموعة مرتبة.

إن علاقة قابلية القسمة للأعداد الطبيعية ليست بشكل عام ترتيبًا خطيًا. ويرد مثال مضاد في المثال 8.1.16."

دعونا نلاحظ أن أي ترتيب خطي لمجموعة محدودة يتم الحصول عليه من خلال ترقيم عناصرها. للتأكيد على أن الترتيب قد لا يكون خطيًا، يُطلق على المجموعة المرتبة أحيانًا اسم المجموعة المرتبة جزئيًا.

لتحديد المفهوم العام للعلاقة الثنائية على مجموعة، سنفعل نفس الشيء كما في حالة المراسلات،

أولئك. دعونا نلقي نظرة على مثال محدد أولا. دع المجموعة X = (2، 4، 6، 8) تُعطى العلاقة "أقل من". هذا يعني أنه بالنسبة لأي رقمين من المجموعة X يمكننا معرفة أيهما أصغر: 2< 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но все эти пары есть элементы декартова произведения X х X, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве X, можно сказать, что оно является подмножеством множества X х X.

بشكل عام، يتم تعريف العلاقات الثنائية في المجموعة X بالطريقة التالية:

تعريف. العلاقة الثنائية في المجموعة X هي أي مجموعة فرعية من المنتج الديكارتي X x X.

وبما أننا سننظر في العلاقات الثنائية فقط في المستقبل، فسيتم حذف كلمة "ثنائي" كقاعدة عامة.

دعونا نتفق على الإشارة إلى العلاقات بالأحرف R، S، T، P، إلخ.

إذا كانت R عبارة عن علاقات في مجموعة X، فوفقًا للتعريف، R X x X. ومن ناحية أخرى، إذا تم إعطاء مجموعة فرعية من المجموعة X x X، فإنها تحدد بعض العلاقة R في المجموعة X.

يمكن كتابة العبارة التي تشير إلى أن العنصرين x وy مرتبطان بـ R على النحو التالي: (x, y) R أو x R y. يقرأ الإدخال الأخير: "العنصر x مرتبط بـ R بالعنصر y."

يتم تعريف العلاقات بنفس طريقة تعريف المراسلات. يمكن تعريف العلاقة من خلال سرد أزواج عناصر المجموعة X الموجودة في هذه العلاقة. يمكن أن تكون أشكال تمثيل هذه الأزواج مختلفة - فهي تشبه أشكال تحديد المراسلات. تتعلق الاختلافات بتحديد العلاقات باستخدام الرسم البياني.

دعونا نبني، على سبيل المثال، رسمًا بيانيًا للعلاقات "أقل من" المعطاة في المجموعة X = (2، 4، 6، 8). للقيام بذلك، نمثل عناصر المجموعة X كنقاط (تسمى رؤوس الرسم البياني)، والعلاقة "أقل من" كسهم (الشكل 1).

في نفس المجموعة X، يمكننا النظر في علاقة أخرى - "متعددة". سيكون للرسم البياني لهذه العلاقة حلقة عند كل قمة (سهم تتطابق بدايته ونهايته)، لأن كل رقم هو مضاعف لنفسه (الشكل 2).

يمكن تحديد العلاقة باستخدام جملة ذات متغيرين. لذلك، على سبيل المثال، يتم تقديم العلاقات "أقل من" و"متعدد" التي تمت مناقشتها أعلاه، والصيغة المختصرة للجمل "الرقم x أقل من الرقم y" و"الرقم x هو مضاعف للرقم y" " يتم استخدامه. يمكن كتابة بعض هذه الجمل باستخدام الرموز. على سبيل المثال، يمكن تحديد العلاقات "أقل من" و"متعدد" بالشكل التالي: "x<у», «х у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х – у = 3).

بالنسبة للعلاقة R المحددة في المجموعة X، من الممكن دائمًا تحديد العلاقة R -1، معكوسها - يتم تعريفها بنفس طريقة عكس المراسلات المعطاة. على سبيل المثال، إذا كانت R هي العلاقة "x أقل من y"، فسيكون معكوسها هو العلاقة "y أكبر من x".

غالبًا ما يستخدم مفهوم العلاقة العكسية لواحدة معينة في تدريس الرياضيات الأولي. على سبيل المثال، لمنع حدوث خطأ في اختيار الإجراء الذي سيتم من خلاله حل المشكلة: "يمتلك بيتيا 7 أقلام رصاص، وهو أقل بقلمين من بوريس. كم عدد أقلام الرصاص التي يمتلكها بوري؟ - ستتم إعادة صياغتها: "بيتيا لديها 7 أقلام رصاص، وبوريس لديه قلمان آخران. كم عدد أقلام الرصاص التي يمتلكها بوري؟ ونرى أن إعادة الصياغة تتلخص في استبدال العلاقة "أقل بمقدار 2" بعلاقتها العكسية "أكثر بمقدار 2".

خصائص العلاقات

لقد أثبتنا أن العلاقة الثنائية في المجموعة X هي مجموعة من الأزواج المرتبة من العناصر التي تنتمي إلى المنتج الديكارتي XxX. هذا هو الجوهر الرياضي لأي علاقة. ولكن، مثل أي مفاهيم أخرى، فإن العلاقات لها خصائص. تم التعرف عليهم من خلال دراسة العلاقات المحددة المختلفة. هناك الكثير من الخصائص، وفي دورتنا سندرس القليل منها فقط. دعونا نفكر في مجموعة الأجزاء المعروضة في الشكل. 3، علاقات التعامد والمساواة و"الأطول". دعونا نبني رسومًا بيانية لهذه العلاقات (الشكل 4) ونقارنها.

نرى أن الرسم البياني لعلاقات المساواة يختلف عن الرسمين الآخرين بوجود حلقات في كل من رؤوسه. هذه الحلقات هي نتيجة حقيقة أن علاقة تساوي الأجزاء لها خاصية: أي قطعة تساوي نفسها. ويقال أن علاقة المساواة لديها الملكية الانعكاسية أو فقط ما هو عليه بشكل انعكاسي .

تعريف. تسمى العلاقة R في المجموعة X انعكاسية إذا كان من الممكن القول أن كل عنصر في المجموعة X في علاقة R مع نفسه.

R انعكاسية على X<=>xRx لأي x X

إذا كانت العلاقة R انعكاسية على المجموعة X، فإن كل قمة في الرسم البياني لهذه العلاقة لها حلقة. والعكس صحيح أيضًا: فالرسم البياني، الذي يحتوي كل رأس منه على حلقة، يحدد العلاقات التي لها خاصية الانعكاسية.

أمثلة على العلاقات الانعكاسية:

تكون العلاقة "متعددة" في مجموعة الأعداد الطبيعية (كل عدد طبيعي هو مضاعف لنفسه)؛

علاقة التشابه بين المثلثات (كل مثلث يشبه نفسه).

هناك علاقات لا تمتلك خاصية الانعكاسية. فهذه مثلا هي نسبة التعامد على مجموعة من القطع: فليس هناك قطعة واحدة يمكن أن يقال عنها إنها متعامدة على نفسها. لذلك، لا توجد حلقة واحدة في الرسم البياني للعلاقة العمودية (الشكل 4). العلاقة "الأطول" للقطاعات أيضًا لا تمتلك خاصية الانعكاسية.

دعونا نوجه انتباهنا الآن إلى الرسوم البيانية للعلاقات العمودية والمساواة بين القطع. إنها "متشابهة" من حيث أنه إذا كان هناك سهم واحد يربط بين زوج من العناصر، فمن المؤكد أن هناك سهمًا آخر يربط بين نفس العناصر، ولكنه يسير في الاتجاه المعاكس. تعكس ميزة الرسم البياني هذه الخصائص التي تتمتع بها علاقات التوازي والمساواة بين القطاعات:

فإذا كان أحد القطعين عموديًا على قطعة أخرى، فإن هذا "الآخر" يكون عموديًا على الأول؛

إذا كانت قطعة واحدة مساوية لقطعة أخرى، فإن هذا "الآخر" يساوي الأول.

يقال إن العلاقات المتعامدة والمساواة بين الأجزاء لها خاصية التناظر أو التناظر ببساطة.

تعريف. تسمى العلاقة R في المجموعة X متماثلة إذا تم استيفاء الشرط التالي: من حقيقة أن العنصر x في علاقة بين R والعنصر y، يتبع ذلك أن العنصر y أيضًا في علاقة بين R والعنصر x.

وباستخدام الرموز يمكن كتابة هذه العلاقة على النحو التالي:

R متماثل على X<=>(xRy => yRx)

يتميز الرسم البياني للعلاقات المتماثلة بميزة خاصة: إلى جانب كل سهم ينتقل من x إلى y، يحتوي الرسم البياني أيضًا على سهم ينتقل من y إلى x. والبيان المعاكس صحيح أيضا. الرسم البياني الذي يحتوي على كل سهم ينتقل من x إلى y وسهم ينتقل من y إلى x هو رسم بياني للعلاقة المتماثلة.

بالإضافة إلى المثالين المعتبرين للعلاقات المتماثلة، نضيف ما يلي:

علاقة التوازي على مجموعة من الخطوط (إذا كان الخط x موازيا للخط y، فإن الخط y موازي للخط x)؛

علاقة التشابه بين المثلثات (إذا كان المثلث F يشبه المثلث P، فإن المثلث P يشبه المثلث F).

هناك علاقات لا تمتلك خاصية التناظر. هذه، على سبيل المثال، هي العلاقة "الأطول" على مجموعة من المقاطع. في الواقع، إذا كان المقطع x أطول من المقطع y، فلا يمكن أن يكون المقطع y أطول من المقطع x. حول العلاقة "الأطول" يقولون إنها تمتلك خاصية عدم التماثل أو أنها ببساطة غير متماثلة.

تعريف. يقال إن العلاقة R في مجموعة X غير متماثلة إذا تم استيفاء الشرط التالي لعناصر مختلفة x و y من المجموعة X: من حقيقة أن x في العلاقة R مع العنصر y، يتبع ذلك العنصر y ليس في العلاقة R مع العنصر x .

غير متماثل على X<=>(xRy وx≠y => )

يتميز الرسم البياني للعلاقات غير المتماثلة بميزة خاصة: إذا كان رأسان من الرسم البياني متصلين بسهم، فسيكون هناك سهم واحد فقط. والعكس صحيح أيضًا: الرسم البياني الذي ترتبط رؤوسه بسهم واحد فقط هو رسم بياني للعلاقات غير المتماثلة.

بالإضافة إلى العلاقة "الأطول" على مجموعة من المقاطع، على سبيل المثال، فإنها تتمتع بخاصية عدم التماثل:

العلاقة "أكبر من" للأرقام (إذا كانت x أكبر من y، فلا يمكن أن يكون y أكبر من x)؛

العلاقة "أكبر بـ 2" للأرقام (إذا كانت x أكبر من y بـ 2، فلا يمكن أن يكون y أكبر من x بـ 2).

هناك علاقات ليس لها خاصية التماثل ولا خاصية عدم التماثل. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، علاقة "أن تكون أختًا" بالعديد من الأطفال من نفس العائلة. يجب أن يكون في الأسرة ثلاثة أطفال: كاتيا وماشا وتوليا. ومن ثم فإن الرسم البياني للعلاقة "أن تكون أختًا" سيكون هو نفسه كما في الشكل 5. وهو يوضح أن هذه العلاقة لا تحتوي على خاصية التماثل ولا خاصية عدم التماثل.

دعونا ننتبه مرة أخرى إلى إحدى ميزات الرسم البياني للعلاقات "الأطول" (الشكل 4). يمكنك أن ترى عليه: إذا تم سحب الأسهم من هل أو من أل مع، أي السهم من هل مع; إذا كانت السهام من هل بو من بل معأي السهم ومن هل معإلخ. تعكس ميزة الرسم البياني هذه خاصية مهمة للعلاقة "الأطول": إذا كان الجزء الأول أطول من الثاني، والثاني أطول من الثالث، فإن الأول أطول من الثالث. ويقال إن هذه العلاقة لها خاصية العبور أو ببساطة متعدية.

تعريف. تسمى العلاقة R في المجموعة X متعدية إذا تم استيفاء الشرط التالي: من حقيقة أن العنصر x في علاقة بين R وعنصر y والعنصر y في علاقة بين R وعنصر z، فإنه ويترتب على ذلك أن العنصر x موجود في علاقة بين R والعنصر z.

وباستخدام الرموز يمكن كتابة هذا التعريف على النحو التالي:

R متعدية على X<=>(xRy وyRz => xRz)

رسم بياني للعلاقة متعدية مع كل زوج من الأسهم القادمة منه Xل فيو فيل ض، يحتوي على سهم ينطلق من Xل ض. والبيان المعاكس صحيح أيضا.

بالإضافة إلى العلاقة "الأطول" على مجموعة من القطاعات، فإن علاقة المساواة لها خاصية العبور: إذا كانت القطعة Xيساوي الجزء فيوالجزء فييساوي الجزء ض، ثم المقطع Xيساوي الجزء ض. تنعكس هذه الخاصية أيضًا في الرسم البياني لعلاقات المساواة (الشكل 4)

هناك علاقات لا تمتلك خاصية العبور. مثل هذه العلاقة هي، على سبيل المثال، علاقة العمودية: إذا كانت القطعة أ متعامدة مع القطعة د، والقطعة د متعامدة مع القطعة ب، فإن القطعتين أ و ب ليستا متعامدتين!

دعونا نفكر في خاصية أخرى للعلاقات، والتي تسمى خاصية الترابط، والعلاقة التي لها هذه الخاصية تسمى متصلة.

تعريف. يقال إن العلاقة R في مجموعة X متصلة إذا تم استيفاء الشرط التالي لأي عنصر x وy من المجموعة X: من حقيقة أن x وy مختلفان، يتبع ذلك أن إما x موجود في العلاقة R مع العنصر y، أو العنصر y موجود في العلاقة R مع العنصر x.

وباستخدام الرموز يمكن كتابة هذا التعريف على النحو التالي:

R متصل بالمجموعة X<=>(x≠y xRy أو yRx)

على سبيل المثال، علاقات "أكبر من" للأعداد الطبيعية لها خاصية الترابط: بالنسبة لأي أرقام مميزة x وy، يمكن للمرء أن يذكر ذلك إما x>y أو y>x.

في الرسم البياني للعلاقات المتصلة، يتم توصيل أي رأسين بواسطة سهم. والبيان المعاكس صحيح أيضا.

هناك علاقات لا تمتلك خاصية الترابط. مثل هذه العلاقة، على سبيل المثال، هي علاقة قابلية القسمة على مجموعة الأعداد الطبيعية: يمكننا أن نسمي الأعداد hnu بحيث لا يكون الرقم x مقسومًا على الرقم y، ولا الرقم y مقسومًا على الرقم x.

تتيح الخصائص المحددة تحليل العلاقات المختلفة من منظور عام - وجود (أو عدم وجود) خصائص معينة فيها.

لذلك، إذا لخصنا كل ما قيل عن علاقة المساواة المحددة على مجموعة من الأجزاء (الشكل 4)، يتبين أنها انعكاسية ومتماثلة ومتعدية. العلاقة "الأطول" على نفس مجموعة القطع هي علاقة غير متماثلة ومتعدية، وعلاقة التعامد متماثلة، لكنها لا تمتلك خصائص الانعكاسية والتعدية. كل هذه العلاقات في مجموعة معينة

الأجزاء غير متصلة.

المهمة 1. صياغة خصائص العلاقة R المحددة باستخدام الرسم البياني (الشكل 6).

حل. العلاقة R- غير متماثلة، حيث أن رؤوس الرسم البياني متصلة بسهم واحد فقط.

العلاقة R متعدية، حيث أن زوجًا من الأسهم يأتي من بل أو من أل مع، يحتوي الرسم البياني على سهم يبدأ من بل مع.

العلاقة R متصلة، لأن أي رأسين متصلين بسهم.

العلاقة R ليس لها خاصية الانعكاسية، لأن الرسم البياني يحتوي على رؤوس لا تحتوي على حلقة.

المهمة 2. صياغة خصائص العلاقة "أكثر من مرتين" المحددة في مجموعة الأعداد الطبيعية.

حل. "2 مرات أكثر" هو شكل قصير من العلاقة "الرقم x هو ضعف الرقم y". هذه العلاقة غير متماثلة، حيث يتم استيفاء الشرط: من حقيقة أن الرقم x أكبر مرتين من الرقم y، فإنه يتبع أن الرقم y ليس أكبر مرتين من الرقم x.

هذه العلاقة لا تتمتع بخاصية الانعكاسية، لأنه لا يمكن القول بأن أي عدد أكبر من نفسه بمرتين.

العلاقة المعطاة ليست متعدية، لأنه من حقيقة أن الرقم Xالمزيد من العدد فيبمقدار 2، والرقم y أكبر من الرقم ضبمقدار 2، يترتب على ذلك الرقم Xلا يمكن أن يكون أكثر من رقم ضعلى 2.

هذه العلاقة على مجموعة الأعداد الطبيعية لا تتمتع بخاصية الترابط، نظرًا لوجود أزواج من الأرقام x وy بحيث لا يكون الرقم أكبر بمرتين من y، ولا يكون الرقم y أكبر من ضعف x. على سبيل المثال، هذه هي الأرقام 7 و3.5 و8، وما إلى ذلك.

التعريفات ذات الصلة

خصائص العلاقات

العلاقات الثنائية يمكن أن يكون لها خصائص مختلفة، مثل

أنواع العلاقات

• تسمى العلاقة الانتقالية الانعكاسية علاقة شبه ترتيبية.
• وتسمى العلاقة المتعدية المتماثلة الانعكاسية بعلاقة التكافؤ.
• وتسمى العلاقة المتعدية الانعكاسية غير المتماثلة بعلاقة ترتيبية (جزئية).
• وتسمى العلاقة المتعدية المضادة للانعكاس وغير المتماثلة بعلاقة ترتيب صارمة.
• تسمى العلاقة المتعدية الكاملة (لأي x أو y xRy أو yRx) علاقة متعدية بعلاقة ترتيب خطية.
• تسمى العلاقة غير المتماثلة المضادة للانعكاس بعلاقة الهيمنة.

أنواع العلاقات المزدوجة

• الموقف العكسي [تحديد] (العلاقة العكسية لـ R) هي علاقة ثنائية تتكون من أزواج من العناصر (y, x) يتم الحصول عليها عن طريق تبديل أزواج العناصر (x, y) لعلاقة معينة R. يُشار إليها بـ: R −1. لهذه العلاقة وعكسها تكون المساواة التالية صحيحة: (R −1) −1 = R.
• العلاقات المتبادلة(العلاقات المتبادلة) - العلاقات التي تكون عكسية لبعضها البعض. نطاق قيم أحدهما بمثابة نطاق تعريف الآخر، ونطاق تعريف الأول بمثابة نطاق قيم الآخر.
• موقف عاكس- علاقة ثنائية R محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه بالنسبة لأي x من هذه المجموعة، يكون العنصر x في علاقة R بنفسه، أي بالنسبة لأي عنصر x في هذه المجموعة يحمله xRx. أمثلة على العلاقات الانعكاسية: المساواة، التزامن، التشابه.
• موقف مضاد للانعكاس(علاقة غير انعكاسية، لاحظ أنه مثلما لا يتزامن عدم التماثل مع عدم التماثل، فإن عدم الانعكاس لا يتزامن مع عدم الانعكاس.) - علاقة ذات مكانين R محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه لأي عنصر x من هذه المجموعة ليس صحيحًا أنه في العلاقة R مع نفسه (ليس صحيحًا أن xRx)، أي أنه من الممكن ألا يكون عنصر من المجموعة في علاقة R مع نفسه. أمثلة على المواقف غير التأملية: "اعتني"، "استمتع"، "العصبية".
• علاقة متعدية- علاقة ثنائية R، محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه بالنسبة لأي x وy وz من هذه المجموعة، فإن xRy وyRz يشيران إلى xRz (xRy&yRzxRz). أمثلة على العلاقات المتعدية: "أكثر"، "أقل"، "مساوي"، "مشابه"، "فوق"، "شمال".
• علاقة متعدية [تحديد] - علاقة ثنائية R محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه بالنسبة لأي x وy وz من هذه المجموعة xRy وyRz لا تتضمن xRz ((xRy&yRzxRz)). مثال على علاقة لازمة: "x هو والد y"
• علاقة متماثلة- علاقة ذات مكانين R، محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه لأي عنصر x و y من هذه المجموعة، من حقيقة أن x إلى y في العلاقة R (xRy)، يترتب على ذلك أن y موجود في نفس العلاقة مع x (yRx). ومن الأمثلة على العلاقات المتماثلة المساواة (=)، وعلاقة التكافؤ، والتشابه، والتزامن، وبعض علاقات القرابة (على سبيل المثال، علاقة الأخوة).
• علاقة غير متماثلة- علاقة ذات مكانين R، محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه لأي x و y من xRy و xR −1 y يتبع x = y (أي أن R و R −1 يتم استيفاءهما في وقت واحد فقط للأعضاء الذين هم متساوون مع بعضهم البعض).
• علاقة غير متكافئة [تحديد] هي علاقة ذات مكانين R، محددة في مجموعة معينة وتتميز بأنه بالنسبة لأي x وy، xRy يعني yRx. مثال: العلاقة بين "أكثر من" (>) و"أقل من" (<).
• علاقة التكافؤ(علاقة الهوية [ تحديد]، علاقة نوع المساواة) هي علاقة ذات مكانين R بين الكائنات x و y في مجال الموضوع D، مما يلبي البديهيات (الشروط) التالية: وبالتالي، فإن علاقة نوع المساواة هي في نفس الوقت انعكاسية ومتماثلة ومتعدية. أمثلة: المساواة، والعدد المتساوي لمجموعتين، وقابلية تبادل السلع في السوق، والتشابه، والتزامن. مثال على علاقة تحقق البديهية (3)، ولكنها لا تلبي البديهيات (1) و (2): "المزيد".
• علاقات النظام- العلاقات التي تحتوي فقط على بعض الخصائص الثلاث لعلاقة التكافؤ. على وجه الخصوص، تشكل العلاقة الانعكاسية والمتعدية، ولكنها غير متماثلة (على سبيل المثال، "لا أكثر") نظامًا "متساهلاً". العلاقة متعدية، ولكنها غير انعكاسية وغير متماثلة (على سبيل المثال، "أقل من") - ترتيب "صارم".
• وظيفة- علاقة مزدوجة ر، محددة على مجموعة معينة، وتتميز بذلك لكل قيمة سعلاقة xRy ذ. مثال: " ذأب س" خاصية وظيفة العلاقة رهو مكتوب كبديهية :( xRyو xRz)→(ذ≡ض). منذ كل قيمة سفي التعبيرات xRyو xRzيتوافق مع نفس القيمة، ثم ذو ضتتزامن، تتحول إلى أن تكون هي نفسها. العلاقة الوظيفية فريدة من نوعها، حيث أن كل قيمة x لها علاقة xRyيتوافق مع قيمة واحدة فقط ذ، ولكن ليس العكس.
• الاعتراض(علاقة مكان واحد) - علاقة مكانين ر، محددة على مجموعة معينة، تتميز بأن كل قيمة x فيها تتوافق مع قيمة واحدة في، وكل قيمة فييطابق قيمة واحدة X. العلاقة بين شخصين هي حالة خاصة من العلاقات بين شخصين.
• علاقة ذات صلة- هذه علاقة ذات مكانين ر، محددة على مجموعة معينة، تتميز بأنها لأي عنصرين مختلفين Xو فيمن هذه المجموعة، واحد منهم في العلاقة رإلى أخرى (أي أن إحدى العلاقتين راضية: xRyأو yRx). مثال: العلاقة "أقل من" (<).

العمليات على العلاقات

نظرًا لأن العلاقات المحددة على زوج ثابت من المجموعات، هي مجموعات فرعية من المجموعة، فإن مجموعة كل هذه العلاقات تشكل جبرًا منطقيًا فيما يتعلق بعمليات الاتحاد والتقاطع وإضافة العلاقات. على وجه الخصوص، للتعسف

وفي كثير من الأحيان، بدلاً من تجميع العلاقات وتقاطعها وتكاملها، يتحدثون عن انفصالها وارتباطها ونفيها.

على سبيل المثال، أي أن اتحاد علاقة النظام الصارمة مع علاقة المساواة يتزامن مع علاقة النظام غير الصارمة، وتقاطعهما فارغ.

بالإضافة إلى تلك المذكورة، فإن عمليات قلب وضرب العلاقات، المحددة على النحو التالي، مهمة أيضًا.

إذا، فإن العلاقة العكسية هي علاقة محددة على الزوج وتتكون من تلك الأزواج التي. على سبيل المثال، .

دع الآن، . نتاج العلاقات هو علاقة من هذا القبيل

إذا و و، فإن ناتج العلاقات غير محدد. إذا نظرنا إلى العلاقات المحددة على مجموعة معينة، فإن مثل هذا الموقف لا ينشأ.

على سبيل المثال، فكر في علاقة ترتيب صارمة محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية. من السهل ملاحظة ذلك

العلاقات الثنائية تسمى التبادلية إذا . من السهل أن نرى أنه بالنسبة لأي علاقة ثنائية محددة على، حيث يشير الرمز إلى المساواة المحددة على. ومع ذلك، فإن المساواة ليست عادلة دائمًا.

تحمل الهويات التالية:

لاحظ أن نظائر الهويتين الأخيرتين لا تصمد.

يمكن تحديد بعض خصائص العلاقة باستخدام عمليات العلاقة:

أنظر أيضا

الأدب

• أ. مالتسيف.الأنظمة الجبرية. - م: العلوم، 1970.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

- مسند ذو مكانين على مجموعة معينة. تحت B.o. تُفهم أحيانًا على أنها مجموعة فرعية من مجموعة الأزواج المرتبة (أ، 6) من عناصر مجموعة معينة من A. B. o. حالة خاصة من العلاقة. اسمحوا ان. إذا، يقال أن العنصر موجود في النظام الثنائي... ... الموسوعة الرياضية

في المنطق، شيء، على عكس الخاصية، لا يميز كائنًا فرديًا، بل زوجًا، أو ثلاثة، وما إلى ذلك. أغراض. المنطق التقليدي لم يأخذ بعين الاعتبار O.؛ في المنطق الحديث O. هي دالة افتراضية لمتغيرين أو أكثر. الثنائية... الموسوعة الفلسفية

سلوك- العلاقة هي مجموعة من الأفراد مرتبة n (حيث n هو 1)، أي. ثنائي، ثلاثي، إلخ. يُطلق على الرقم n اسم "المحلية"، أو "arity"، O. وبالتالي، يتحدثون عن n محلي (n arno) O. لذلك، على سبيل المثال، يُسمى الرقم المزدوج O.... ... موسوعة نظرية المعرفة وفلسفة العلوم

في نظرية المستهلك، هذا وصف رسمي لقدرة المستهلك على مقارنة (الترتيب حسب الرغبة) مجموعات مختلفة من السلع (حزم الاستهلاك). لوصف علاقة التفضيل، ليس من الضروري قياس الرغبة... ... ويكيبيديا

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر الموقف. العلاقة هي بنية رياضية تحدد بشكل رسمي خصائص الكائنات المختلفة والعلاقات بينها. يتم تصنيف العلاقات عادةً حسب عدد الكائنات المرتبطة... ويكيبيديا

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر الموقف. علاقة في منطق الدرجة الأولى لمسندين أو أكثر من المسندات (مسندات متعددة)، أو اثنين أو أكثر من خصائص المسند. علامة العلاقة: ر.[حدد] فيما يتعلق بالعلاقات... ... ويكيبيديا، A. I. شيروكوف. الدليل هو الجزء السابع من قسم "الإنشاءات النظرية الأساسية للمجموعات" من التخصص الأكاديمي "الرياضيات المنفصلة". فهو يقدم ويحلل مثل هذه ... الكتاب الاليكتروني