Лекция 3.

п.3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.

3.1. Бинарные отношения .

Когда говорят о родстве двух людей, например, Сергей и Анна, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Сергей, Анна) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Сергеем и Анной есть некое родство (кузина, отец и т. д.).

В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (A ´B ) тоже выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении S ´K можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s , k ), обладающих свойством: студент s слушает курс k . Построенное подмножество отражает отношение «… слушает …», естественно возникающее между множествами студентов и курсов.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств введем понятие бинарного отношения.

Определение 3.1. Бинарным (или двухместным ) отношением r между множествами A и B называется произвольное подмножество A ´B , т. е.

В частности, если A= B (то есть rÍA 2), то говорят, что r есть отношение на множестве A.

Элементы a и b называются компонентами (или координатами ) отношения r.

Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит : r, t, j, s, w и т. д.

Определение 3.2. Областью определения D r={a | $ b , что a rb } (левая часть). Областью значений бинарного отношения r называется множество R r={b | $ a , что a rb } (правая часть).

Пример 3. 1. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7} и B ={2; 4; 6}. Отношение зададим следующим образом t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}. Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде t={(3; 6), (5; 4), (7;2)}. В данном примере D t={3; 5; 7} и R t= B ={2; 4; 6}.

Пример 3. 2. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество r={(x ; y ) | x и y – действительные числа и x равно y }. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, D r= R r.

Пример 3. 3. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда j={(x ; y )ÎA ´B | y – цена x } – отношение множеств A и B .

Если обратить внимание на пример 3.1., то можно заметить, что данное отношение было задано сначала в виде t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}, а потом записано в виде t={(3; 6), (5;4), (7;2)}. Это говорит о том, что отношения на множествах (или одном множестве) можно задавать различными способами. Рассмотрим способы задания бинарных отношений.

Способы задания отношений:

1) с помощью подходящего предиката;

2) множество упорядоченных пар;

3) в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и r – бинарное отношение между ними. Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости. Для каждой упорядоченной пары отношения r рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом , точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа .

4) в виде матрицы: пусть A ={a 1, a 2, …, an } и B ={b 1, b 2, …, bm }, r – отношение на A ´B . Матричным представлением r называется матрица M =[mij ] размера n ´m , определенная соотношениями

.

Кстати, матричное представление является представлением отношения в компьютере.

Пример 3. 4. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7}и B ={2; 4; 6}. Отношение задано следующим образом t={(x ; y ) | x+ y =9}. Задать данное отношение как множество упорядоченных пар, орграфом, в виде матрицы.

Решение. 1) t={(3; 6), (5; 4), (7; 2)} - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;

2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Пример 3. 5 . Еще в качестве примера можно рассмотреть предложенную Дж. фон Нейманом (1903 – 1957) блок-схему ЭВМ последовательного действия, которая состоит из множества устройств M :

,

где a – устройство ввода, b – арифметическое устройство (процессор), c – устройство управления, d – запоминающее устройство, e – устройство вывода.

Рассмотрим информационный обмен между устройствами mi и mj , которые находятся в отношении r, если из устройства mi поступает информация в устройство mj .

Это бинарное отношение можно задать перечислением всех его 14 упорядоченных пар элементов:

Соответствующий орграф, задающий это бинарное отношение, представлен на рисунке:

Матричное представление этого бинарного отношения имеет вид:

. ,

Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные операции: объединение, пересечение и т. д.

Введем обобщенное понятие отношения.

Определение 3.3. n-местное (n -арное ) отношение r – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей )

rÍA 1´…´An ={(a 1, …, an )| a 1ÎA 1Ù … Ùan ÎAn }

Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц . Такое задание соответствует перечислению множества n -к отношения r. Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных . Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.

Слово «реляционная » происходит от латинского слова relation , которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или r (греческую).

Определение 3.4. Пусть rÍA ´B есть отношение на A ´B. Тогда отношение r-1 называется обратным отношением к данному отношению r на A ´B , которое определяется следующим образом:

r-1={(b , a ) | (a , b )Îr}.

Определение 3.5. Пусть r ÍA ´B есть отношение на A ´B, а s ÍB ´C – отношение на B ´C. Композицией отношений s и r называется отношение t ÍA ´C ,которое определяется следующим образом:

t=s◦r= {(a , c )| $ b Î B, что (a , b )Îr и (b , c )Îs}.

Пример 3. 6 . Пусть , и C ={, !, d, à}. И пусть отношение r на A ´B и отношение s на B ´C заданы в виде:

r={(1, x ), (1, y ), (3, x )};

s={(x ,), (x , !), (y , d), (y , à)}.

Найти r-1 и s◦r, r◦s.

Решение. 1) По определению r-1={(x , 1), (y , 1), (x , 3)};

2) Используя определение композиции двух отношений, получаем

s◦r={(1,), (1, !), (1, d), (1, à), (3,), (3, !)},

поскольку из (1, x )Îr и (x ,)Îs следует (1,)Îs◦r;

из (1, x )Îr и (x , !)Îs следует (1, !)Îs◦r;

из (1, y )Îr и (y , d)Îs следует (1, d)Îs◦r;

из (3, x )Îr и (x , !)Îs следует (3, !)Îs◦r.

Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

2) ;

3) - ассоциативность композиции.

Доказательство. Свойство 1 очевидно.

Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Пусть (a ; b ) Î (s◦r)-1 Û (b ; a ) Î s◦r Û $ c такое, что (b ; c ) Î r и (c ; a ) Î s Û $ c такое, что (c ; b ) Î r-1 и (a ; c ) Î s-1 Û (a ; b ) Î r -1◦s -1.

Свойство 3 доказать самостоятельно.

3.2. Свойства бинарных отношений .

Рассмотрим специальные свойства бинарных отношений на множестве A .

Свойства бинарных отношений.

1. Отношение r на A ´A называется рефлексивным , если (a ,a ) принадлежит r для всех a из A .

2. Отношение r называется антирефлексивным , если из (a ,b )Îr следует a ¹b .

3. Отношение r симметрично , если для a и b , принадлежащих A , из (a ,b )Îr следует, что (b ,a )Îr.

4. Отношение r называется антисимметричным , если для a и b из A , из принадлежности (a ,b ) и (b ,a ) отношению r следует, что a =b .

5. Отношение r транзитивно , если для a , b и c из A из того, что (a ,b )Îr и (b ,c )Îr, следует, что (a ,c )Îr.

Пример 3. 7. Пусть A ={1; 2; 3; 4; 5; 6}. На этом множестве задано отношение rÍA 2, которое имеет вид: r={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)}. Какими свойствами обладает данное отношение?

Решение. 1) Это отношение рефлексивно, так как для каждого a ÎA , (a ; a )Îr.

2) Отношение не является антирефлексивным, так как не выполняется условие этого свойства. Например, (2, 2)Îr, но отсюда не следует, что 2¹2.

3) Рассмотрим все возможные случаи, показав, что отношение r является симметричным:

	(a , b )Îr	(b , a )	(b , a )Îr?

4) Данное отношение не является антисимметричным, поскольку (1, 2)Îr и (2,1)Îr, но отсюда не следует, что 1=2.

5) Можно показать, что отношение r транзитивно, используя метод прямого перебора.

	(a , b )Îr	(b , c )Îr	(a , c )	(a , c )Îr?

Как по матрице представления

определить свойства бинарного отношения

1. Рефлексивность: на главной диагонали стоят все единицы, звездочками обозначены нули или единицы.

.

2. Антирефлексивность: на главной диагонали все нули.

3. Симметричность: если .

4. Антисимметричность: все элементы вне главной диагонали равны нулю; на главной диагонали тоже могут быть нули.

.

Операция «*» выполняется по следующему правилу: , где , .

5. Транзитивность: если . Операция «◦» выполняется по обычному правилу умножения, при этом надо учитывать: .

3.3 Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.

Отношение эквивалентности является формализацией такой ситуации, когда говорят о сходстве (одинаковости) двух элементов множества.

Определение 3.6. Отношение r на A есть отношение эквивалентности , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности a rb часто обозначается: a ~ b .

Пример 3. 8 . Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.

Пример 3. 9 . Отношение «одного роста» есть отношение эквивалентности на множестве людей X .

Пример 3. 1 0 . Пусть ¢ - множество целых чисел. Назовем два числа x и y из ¢ сравнимыми по модулю m (m Î¥) и запишем , если равны остатки этих чисел от деления их на m , т. е. разность (x -y ) делится на m .

Отношение «сравнимых по модулю m целых чисел» есть отношение эквивалентности на множестве целых числе ¢. В самом деле:

это отношение рефлексивно, т. к. для "x ΢ имеем x -x =0, и, следовательно, оно делится на m ;

это отношение симметрично, т. к. если (x -y ) делится на m , то и (y -x ) тоже делится на m ;

это отношение транзитивно, т. к. если (x -y ) делится на m , то для некоторого целого t 1 имеем https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, отсюда , т. е. (x -z ) делится на m .

Определение 3.7. Отношение r на A есть отношение частичного порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом °.

Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство. Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.

Пример 3. 11 . Отношение x £y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка. ,

Пример 3. 1 2 . Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение A ÍB есть отношение частичного порядка.

Пример 3. 1 3 . Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.

Прообразом отношения частичного порядка является интуитивное понятие отношения предпочтения (предшествования). Отношение предпочтения выделяет класс задач, которые можно объединить, как задача о проблеме выбора наилучшего объекта .

Формулировка задачи: пусть имеется совокупность объектов A и требуется сравнить их по предпочтительности, т. е. задать отношение предпочтения на множестве A и определить наилучшие объекты.

Отношение предпочтения P , которое можно определить как «aPb , a , b ÎA Û объект a не менее предпочтителен, чем объект b » является по смыслу рефлексивным и антисимметричным (каждый объект не хуже самого себя, и, если объект a не хуже b и b не хуже a , то они одинаковы по предпочтительности). Естественно считать, что отношение P транзитивно (хотя в случае, когда, например, предпочтения обсуждаются группой лиц с противоположными интересами, это свойство может быть нарушено), т. е. P – отношение частичного порядка.

Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности – ранжирование , т. е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделяем «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.

Области применения задачи о проблеме выбора наилучшего объекта: теория принятия решений, прикладная математика, техника, экономика, социология, психология.

Декартовым произведением двух множеств X и Y называется множество всех упорядоченных пар (x , y ) таких, что
, а
.

Пример 1 . Пусть .

Тогда , .

Очевидно, что
, т.е. операция декартова произведения множеств не является коммутативной.

Декартовым произведением множеств
называется множество
всех упорядоченных наборов
таких, чтоЕсли
, то декартово произведение обозначают
.

Будем говорить, что задано соответствие q между множествами X и Y , если задана упорядоченная тройка
, где
.Множество X называется областью отправления, а Y – областью прибытия соответствия q (обозначают
). Каждый элементy в паре
называется образом элементаx (x – прообразом элемента y ) при данном соответствии q .

Соответствие
называетсяотображением множества X во множество Y , если каждый элемент
имеет образ
, т.е..

Отображение
называетсяфункциональным , если каждый элемент
имеетединственный образ
:. Множество образов при данном отображении
обозначается
:.

Если множество
совпадает с множествомY , то говорят, что
осуществляет отображениена множество Y .

Соответствие
называетсявзаимно однозначным (биекцией) , если а) является отображением; б) функционально; в) отображает X «на» множество Y ; г) из условия
следует
.

Другими словами,
является биекцией, если каждый элемент
имеет единственный образ
, а каждый элемент
имеет единственный прообраз
при данном отображении:

(1.2)

1.2.2 Определение бинарного отношения

Определение. Говорят, что на множестве X задано бинарное отношение R , если задано подмножество декартова произведения
(т.е.
).

Пример 2 . Пусть
Зададим наХ следующие отношения:

–отношение равенства;

–отношение предшествования;

делится на – отношение делимости.

Все эти отношения заданы с помощью характеристического свойства. Ниже перечислены элементы этих отношений:

Тот факт, что пара (x , y ) принадлежит данному отношению R , будем записывать:
или xRy . Например, для отношения Q запись 4Q 2 означает, что 4 делится на 2 нацело, т.е.

Областью определения
бинарного отношения R называется множество
Областью значений
называется множество

Так, для отношения Р из примера 2 областью определения является множество
, а областью значений –
.

1.2.3 Способы задания бинарного отношения

Бинарное отношение можно задать, указав характеристическое свойство или перечислив все его элементы. Более наглядными способы задания бинарного отношения являются график отношения, схема отношения, граф отношения, матрица отношения.

График отношения изображается в декартовой системе координат; на горизонтальной оси отмечается область определения, на вертикальной – множество значений отношения; элементу отношения (х,у ) соответствует точка плоскости с этими координатами. На рис. 1.7,а) приведен график отношения Q примера 2.

Схема отношения изображается с помощью двух вертикальных прямых, левая из которых соответствует области определения отношения, а правая – множеству значений отношения. Если элемент (х,у ) принадлежит отношению R , то соответствующие точки из
и
соединяются отрезком прямой. На рис. 1.7,б) приведена схема отношения Q из примера 2.

Граф отношения
строится следующим образом. На плоскости в произвольном порядке изображаются точки – элементы множестваХ . Пара точек х и у соединяется дугой (линией со стрелкой) тогда и только тогда, когда пара (х,у ) принадлежит отношению R . На рис. 1.8,а) приведен граф отношения Q примера 2.

Пусть
. Матрица отношения
имеет n строк и n столбцов, а ее элемент определяется по правилу:

На рис.1.8,б) приведена матрица отношения Q примера 2.

Отношение, заданное на множестве, может обладать рядом свойств, а именно:

2. Рефлексивность

Определение. Отношение R намножестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент х множества Х находится в отношении R с самим собой.

Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:

R рефлексивно на Х Û("х Î Х ) х R х

Пример. Отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, т.к. каждый отрезок равен себе самому.

Граф рефлексивного отношения во всех вершинах имеет петли.

2. Антирефлексивность

Определение. Отношение R намножестве Х называется антирефлексивным, если ни один элемент х множества Х не находится в отношении R с самим собой.

R антирефлексивно на Х Û("х Î Х )

Пример. Отношение «прямая х перпендикулярна прямой у » на множестве прямых плоскости антирефлексивно, т.к. ни одна прямая плоскости не перпендикулярна самой себе.

Граф антирефлексивного отношения не содержит ни одной петли.

Заметим, что существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Например, рассмотрим отношение «точка х симметрична точке у » на множестве точек плоскости.

Точка х симметрична точке х – истинно; точка у симметрична точке у – ложно, следовательно, мы не можем утверждать, что все точки плоскости симметричны сами себе, также мы не можем и утверждать, что ни одна точка плоскости не симметрична сама себе.

3. Симметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у , следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х .

R симметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Þ у R х

Пример. Отношение «прямая х пересекает прямую у на множестве прямых плоскости» симметрично, т.к. если прямая х пересекает прямую у , то и прямая у обязательно будет пересекать прямую х .

Граф симметричного отношения вместе с каждой стрелкой из точки х в точку у должен содержать стрелку, соединяющую те же точки, но в обратном направлении.

4. Асимметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется асимметричным, если ни для каких элементов х , у из множества Х не может случиться, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом х .

R асимметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Þ

Пример. Отношение «х < у » асимметрично, т.к. ни для какой пары элементов х , у нельзя сказать, что одновременно х < у и у < х .

Граф асимметричного отношения не имеет петель и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.

5. Антисимметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется антисимметричным, если из того что х находится в отношении с у , а у находится в отношении с х следует, что х = у.

R антисимметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Ù у R х Þ х = у

Пример. Отношение «х £ у » антисимметрично, т.к. условия х £ у и у £ х одновременно выполняются только тогда, когда х = у.

Граф антисимметричного отношения имеет петли и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.

6. Транзитивность

Определение . Отношение R намножестве Х называется транзитивным, если для любых элементов х , у , z из множества Х из того, что х находится в отношении с у , а у находится в отношении с z следует, что х находится в отношении с z.

R транзитивнона Х Û("х , у , z Î Х ) х R у Ù у R z Þ х R z

Пример. Отношение «х кратно у » транзитивно, т.к. если первое число кратно второму, а второе кратно третьему, то первое число будет кратно третьему.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок от х к у и от у к z содержит стрелку, идущую от х к z.

7. Связность

Определение . Отношение R намножестве Х называется связным, если для любых элементов х , у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у .

R связнона Х Û("х , у , z Î Х ) х R у Ú у R z Ú х = у

Другими словами: отношение R намножестве Х называется связным, если для любых различных элементов х , у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у .

Пример. Отношение «х < у » связно, т.к. какие бы мы действительные числа не взяли, обязательно одно из них будет больше другого или они равны.

На графе связного отношения все вершины соединены между собой стрелками.

Пример. Проверить, какими свойствами обладает

отношение «х – делитель у », заданное на множестве

Х = {2; 3; 4; 6; 8}.

1) данное отношение рефлексивно, т.к. каждое число из данного множества является делителем самого себя;

2) свойством антирефлексивности данное отношение не обладает;

3) свойство симметричности не выполняется, т.к. например, 2 является делителем числа 4, но 4 делителем числа 2 не является;

4) данное отношение антисимметрично: два числа могут быть одновременно делителями друг друга только в том случае, если эти числа равны;

5) отношение транзитивно, т.к. если одно число является делителем второго, а второе – делителем третьего, то первое число обязательно будет делителем третьего;

6) отношение свойством связности не обладает, т.к. например, числа 2 и 3 на графе стрелкой не соединены, т.к. два различных числа 2 и 3 делителями друг друга не являются.

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, асимметричности и транзитивности.

§ 3. Отношение эквивалентности.
Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример. Рассмотрим отношение «х однокурсник у » на множестве студентов педфака. Оно обладает свойствами:

1) рефлексивности, т.к. каждый студент является однокурсником самому себе;

2) симметричности, т.к. если студент х у , то и студент у является однокурсником студента х ;

3) транзитивности, т.к. если студент х - однокурсник у , а студент у – однокурсник z , то студент х будет однокурсником студента z .

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а значит, является отношением эквивалентности. При этом множество студентов педфака можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном курсе. Получаем 5 подмножеств.

Отношением эквивалентности являются также, например, отношение параллельности прямых, отношение равенства фигур. Каждое такое отношение связано с разбиением множества на классы.

Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х , порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Является ли оно отношением эквивалентности?

Построим граф данного отношения:

Данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношение эквивалентности и разбивает множество Х на классыэквивалентности. В каждом классе эквивалентности будут числа, которые при делении на 3 дают один и тот же остаток: Х 1 = {3; 6}, Х 2 = {1; 4; 7}, Х 3 = {2; 5; 8}.

Считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу.

В начальном курсе математики также встречаются отношения эквивалентности, например, «выражения х и у имеют одинаковые числовые значения», «фигура х равна фигуре у ».

Пусть R - некоторое бинарное отношение на множестве X, а х, у, z любые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с элементом у, то пишут xRy.

1. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой.

R -рефлексивно на X <=> xRx для любого x€ X

Если отношение R рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. Например, отношения равенства и параллельности для отрезков являются рефлексивными, а отношение перпендику­лярности и «длиннее» не являются рефлексивными. Это отражают графы на рисунке 42.

2. Отношение R на множестве X называется симметричным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом же отношении с элементом х.

R - симметрично на (хЯу =>у Rx)

Граф симметричного отношения содержит парные стрелки, идущие в противоположных направлениях. Отношения параллельнос­ти, перпендикулярности и равенства для отрезков обладают симмет­ричностью, а отношение «длиннее» - не является симметричным (рис. 42).

3. Отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества X из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у в этом отношении с элементом х не находится.

R - антисимметрично на Х« (xRy и xy ≠ yRx)

Замечание: черта сверху обозначает отрицание высказывания.

На графе антисимметричного отношения две точки может сое­динять только одна стрелка. Примером такого отношения является отношение «длиннее» для отрезков (рис. 42). Отношения параллель­ности, перпендикулярности и равенства не являются антисиммет­ричными. Существуют отношения, не являющиеся ни симметрич­ными, ни антисимметричными, например отношение «быть братом» (рис. 40).

4. Отношение R на множестве X называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у и элемент у находится в этом лее отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом Z

R - транзитивно на A≠ (xRy и yRz=> xRz)

На графах отношений «длиннее», параллельности и равенства на рисунке 42 можно заметить, что если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго к третьему, то обязательно есть стрелка, идущая от первого элемента к третьему. Эти отношения яв­ляются транзитивными. Перпендикулярность отрезков не обладает свойством транзитивности.

Существуют и другие свойства отношений между элементами одного множества, которые мы не рассматриваем.

Одно и то же отношение может обладать несколькими свойст­вами. Так, например, на множестве отрезков отношение «равно» - рефлексивно, симметрично, транзитивно; отношение «больше» - антисимметрично и транзитивно.

Если отношение на множестве X рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности на этом множестве. Такие отношения разбивают множество X на классы.

Данные отношения проявляются, например, при выполнении заданий: «Подбери полоски равные по длине и разложи по груп­пам», «Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одно­го цвета». Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение мно­жеств полосок и мячей на классы.

Если отношение на множестве 1 транзитивно и антисимметрич­но, то оно называется отношением порядка на этом множестве.

Множество с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Например, выполняя задания: «Сравни полоски по ширине и разложи их от самой узкой до самой широкой», «Сравни числа и разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают эле­менты множеств полосок и числовых карточек при помощи отно­шений порядка; «быть шире», «следовать за».

Вообще отношения эквивалентности и порядка играют боль­шую роль в формировании у детей правильных представлений о классификации и упорядочении множеств. Кроме того, встречается много других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

6. Что такое характеристическое свойство множества?

7. В каких отношениях могут находиться множества? Дайте пояснения каждому случаю и изобразите их при помощи кругов Эйлера.

8. Дайте определение подмножества. Приведите пример множеств, одно из которых является подмножеством другого. Запишите их от­ношение при помощи символов.

9. Дайте определение равных множеств. Приведите примеры двух равных множеств. Запишите их отношение при помощи символов.

10. Дайте определение пересечения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

11. Дайте определение объединения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

12. Дайте определение разности двух множеств и изобразите ее при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

13. Дайте определение дополнения и изобразите его при помощи кругов Эйлера.

14. Что называется разбиением множества на классы? Назовите усло­вия правильной классификации.

15. Что называется соответствием между двумя множествами? Назо­вите способы задания соответствий.

16. Какое соответствие называется взаимно однозначным?

17. Какие множества называют равномощными?

18. Какие множества называют равночисленными?

19. Назовите способы задания отношений на множестве.

20. Какое отношение на множестве называют рефлексивным?

21. Какое отношение на множестве называют симметричным?

22. Какое отношение на множестве называют антисимметричным?

23. Какое отношение на множестве называют транзитивным?

24. Дайте определение отношения эквивалентности.

25. Дайте определение отношения порядка.

26. Какое множество называют упорядоченным?

В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться с понятием «отношения». Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-то одного признака R у элементов множества M (например, «быть красным» на множестве шаров в урне).

Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимо

связей, которыми характеризуются пары элементов во множестве M .

Например, на множестве людей могут быть заданы следующие отношения: «жить в одном городе», «x работает под руководством y », «быть сыном», «быть старше» и т.д. на множестве чисел: «число a больше числа b », «число a является делителем числа b », «числа a и b дают одинаковый остаток при делении на 3».

В прямом произведении , где A - множество студентов какого-либо вуза, B - множество изучаемых предметов, можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (a, b) , обладающих свойством: «студент a изучает предмет b ». Построенное подмножество отражает отношение «изучает», возникающее между множествами студентов и предметов. Число примеров можно продолжить

Отношения между двумя объектами являются предметом исследования экономики, географии, биологии, физики, лингвистики, математики и других наук.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отношения.

Бинарным отношением между множествами A и B называется подмножество R прямого произведения . В том случае, когда можно просто говорить об отношении R на A .

Пример 1 . Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие бинарным отношениям R 1 и R 2 , заданными на множествах A и : , . Подмножество R 1 состоит из пар: . Подмножество .

Область определения R на есть множество всех элементов из A таких, что для некоторых элементов имеем . Иными словами область определения R есть множество всех первых координат упорядоченных пар из R .

Множество значений отношения R на есть множество всех таких, что для некоторых . Другими словами множество значений R есть множество всех вторых координат упорядоченных пар из R .

В примере 1 для R 1 область определения: , множество значений - . Для R 2 область определения: , множество значений: .

Во многих случаях удобно использовать графическое изображение бинарного отношения. Оно осуществляется двумя способами: с помощью точек на плоскости и с помощью стрелок.

В первом случае выбирают две взаимно перпендикулярные линии в качестве горизонтальной и вертикальной осей. На горизонтальной оси откладывают элементы множества A и через каждую точку проводят вертикальную линию. На вертикальной оси откладывают элементы множества B , через каждую точку проводят горизонтальную линию. Точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий изображают элементы прямого произведения .

Пример 5 . Пусть , .

Пусть R 1 задано на перечислением упорядоченных пар: . Бинарное отношение R 2 на множестве задано с помощью правила: упорядочена пара , если a делится на b . Тогда R 2 состоит из пар: .

Бинарные отношения, из примера 2, R 1 и R 2 изображены графически на рис. 6 и рис.7.

Рис. 6 Рис. 7

Чтобы изобразить бинарное отношение с помощью стрелок, слева изображаются точками элементы множества A , справа - множества B . Для каждой пары (a, b) , содержащейся в бинарном отношении R , проводится стрелка от a к b , . Графическое изображение бинарного отношения R 1 , приведенного в примере 6, показано на рис.8.

Рис.8

Бинарные отношения на конечных множествах могут быть заданы матрицами. Предположим, что задано бинарное отношение R между множествами A и B . , .

Строки матрицы нумеруются элементами множества A , а столбцы – элементами множества B . Ячейку матрицы, стоящую на пересечении i - ой строки и j - ого столбца принято обозначать через C ij , а заполняется она следующим образом:

Полученная матрица будет иметь размер .

Пример 6. Пусть задано множество . На множестве задайте списком и матрицей отношение R – «быть строго меньше».

Отношение R как множество содержит все пары элементов (a , b) из M такие, что .

Матрица отношения, построенная по вышеуказанным правилам, имеет следующий вид:

Свойства бинарных отношений:

1. Бинарное отношение R на множестве называетсярефлексивным , если для любого элемента a из M пара (a, a) принадлежит R , т.е. имеет место для любого a из M :

Отношения «жить в одном городе», «учиться в одном вузе», «быть не больше» являются рефлексивными.

2. Бинарное отношение называется антирефлексивным ,если оно не обладает свойством рефлексивности для любых a :

Например, «быть больше», «быть младше» - это антирефлексивные отношения .

3. Бинарное отношение R называется симметричным , если для любых элементов a и b из M из того, что пара (a, b) принадлежит R , , вытекает, что пара (b, a) принадлежит R , т.е.

Симметрична параллельность прямых, т.к. если // , то // . Симметрично отношение «быть равным» на любом множестве или «быть взаимнопростым на N».

Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R=R -1

4. Если для несовпадающих элементов верно отношение , но ложно , то отношение антисимметрично . Можно сказать иначе:

Антисимметричными являются отношения «быть больше», «быть делителем на N», «быть младше».

5. Бинарное отношение R называется транзитивным , если для любых трех элементов из того, что пары (a, b) и (b, c) принадлежат R , следует, что пара (a, c) принадлежит R :

Транзитивны отношения : «быть больше», «быть параллельным», «быть равным» и др.

6. Бинарное отношение R антитранзитивно , если оно не обладает свойством транзитивности.

Например, «быть перпендикулярным» на множестве прямых плоскости ( , , но неверно, что ).

Т.к. бинарное отношение может быть задано не только прямым перечислением пар, но и матрицей, то целесообразно выяснить, какими признаками характеризуется матрица отношения R , если оно: 1) рефлексивно, 2) антирефлексивно, 3)симметрично, 4) антисимметрично, 5) транзитивно.

Пусть R задано на , .R либо выполняется в обе стороны, либо не выполняется вообще. Таким образом, если в матрице стоит единица на пересечении i - ой строки и j - ого столбца, т.е. C ij =1, то она должна стоять и на пересечении j - ой строки и i - ого столбца, т.е. C ji =1, и наоборот, если C ji =1, то C ij =1. Таким образом, матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

4. R антисимметрично, если из и следует: . Это означает, что в соответствующей матрице ни для каких i , j не выполняется C ij = C ji =1. Таким образом, в матрице антисимметричного отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали .

5. Бинарное отношение R на непустом множестве A называется транзитивным если

Вышеприведенное условие должно выполняться для любых элементов матрицы. И, наоборот, если в матрице R имеется хотя бы один элемент C ij =1, для которого данное условие не выполняется, то R не транзитивно.