Neka R je neka binarna relacija na skupu X, a x, y, z su bilo koji od njegovih elemenata. Ako je element x u odnosu R sa elementom y, onda napišite xRy.

1. Relacija R na skupu X naziva se refleksivnom ako je svaki element skupa u toj vezi sa samim sobom.

R -refleksivan na X<=>xRx za bilo koje x€ X

Ako je relacija R refleksivna, tada postoji petlja na svakom vrhu grafa. Na primjer, odnosi jednakosti i paralelizma za segmente su refleksivni, ali odnosi okomitosti i „duže“ nisu refleksivni. Ovo se odražava na grafikonima na slici 42.

2. Relacija R na skupu X naziva se simetrična ako iz činjenice da je element x u datoj vezi sa elementom y, slijedi da je element y u istoj vezi sa elementom x.

R - simetrično na (xYay =>y Rx)

Graf simetrične relacije sadrži uparene strelice koje idu u suprotnim smjerovima. Relacije paralelizma, okomitosti i jednakosti za segmente su simetrične, ali „duža“ relacija nije simetrična (slika 42).

3. Relacija R na skupu X naziva se antisimetrična ako za različite elemente x i y iz skupa X, iz činjenice da je element x u datoj vezi sa elementom y, slijedi da element y nije u ovom odnosu sa elementom x.

R - antisimetrično na X « (xRy i xy ≠ yRx)

Napomena: preklopna traka označava negaciju iskaza.

U antisimetričnom relacionom grafu, dve tačke mogu biti povezane samo jednom strelicom. Primjer takve relacije je “duža” relacija za segmente (slika 42). Odnosi paralelizma, okomitosti i jednakosti nisu antisimetrični. Postoje odnosi koji nisu ni simetrični ni antisimetrični, na primjer relacija „biti brat“ (Sl. 40).

4. Relacija R na skupu X naziva se tranzitivna ako iz činjenice da je element x u datoj vezi sa elementom y, a element y u ovoj vezi sa elementom z, slijedi da je element x u datu relaciju sa elementom Z

R - tranzitivan na A≠ (xRy i yRz=> xRz)

Na grafovima „dužih“, paralelnih i jednakosti relacija na slici 42, možete primijetiti da ako strelica ide od prvog elementa do drugog i od drugog do trećeg, onda definitivno postoji strelica koja ide od prvog elementa. element do trećeg. Ovi odnosi su tranzitivni. Okomitost segmenata nema svojstvo tranzitivnosti.

Postoje i druga svojstva odnosa između elemenata istog skupa koja ne razmatramo.

Ista relacija može imati nekoliko svojstava. Tako, na primjer, na skupu segmenata relacija “jednako” je refleksivna, simetrična, tranzitivna; relacija “više” je antisimetrična i tranzitivna.

Ako je relacija na skupu X refleksivna, simetrična i tranzitivna, onda je to relacija ekvivalencije na ovom skupu. Takvi odnosi dijele skup X na klase.

Ovi odnosi se očituju, na primjer, prilikom izvršavanja zadataka: „Pokupite trake jednake dužine i rasporedite ih u grupe“, „Posložite kuglice tako da svaka kutija sadrži kuglice iste boje“. Relacije ekvivalencije („biti jednake dužine“, „biti iste boje“) određuju u ovom slučaju podjelu skupova pruga i kuglica na klase.

Ako je relacija na skupu 1 tranzitivna i antisimetrična, onda se naziva relacija reda na ovom skupu.

Skup sa datom relacijom reda naziva se uređenim skupom.

Na primjer, prilikom izvršavanja zadataka: „Uporedi trake po širini i poredaj ih od najužeg ka najširem“, „Uporedi brojeve i složi kartice s brojevima po redu“, djeca poređaju elemente skupova traka i brojčanih kartica. korištenje odnosa naloga; „biti širi“, „pratiti“.

Generalno, odnosi ekvivalencije i reda igraju veliku ulogu u formiranju kod djece ispravnih ideja o klasifikaciji i uređenju skupova. Osim toga, postoje mnoge druge relacije koje nisu ni odnosi ekvivalencije ni relacije poretka.

6. Koje je karakteristično svojstvo skupa?

7. U kojim odnosima mogu postojati skupovi? Dajte objašnjenja za svaki slučaj i oslikajte ih pomoću Ojlerovih krugova.

8. Definirajte podskup. Navedite primjer skupova od kojih je jedan podskup drugog. Zapišite njihov odnos pomoću simbola.

9. Definirajte jednake skupove. Navedite primjere dva jednaka skupa. Zapišite njihov odnos pomoću simbola.

10. Definirajte presjek dva skupa i oslikajte ga korištenjem Ojlerovih krugova za svaki pojedinačni slučaj.

11. Definirajte uniju dva skupa i oslikajte je koristeći Ojlerove krugove za svaki pojedinačni slučaj.

12. Definirajte razliku između dva skupa i oslikajte je koristeći Ojlerove krugove za svaki pojedinačni slučaj.

13. Definirajte komplement i oslikajte ga pomoću Ojlerovih krugova.

14. Šta se zove particioniranje skupa na klase? Navedite uslove za tačnu klasifikaciju.

15. Šta se zove korespondencija između dva skupa? Imenujte metode za određivanje korespondencije.

16. Koja vrsta korespondencije se zove jedan na jedan?

17. Koji skupovi se nazivaju jednaki?

18. Koji skupovi se nazivaju ekvivalentni?

19. Imenujte načine za definiranje relacija na skupu.

20. Koja se relacija na skupu naziva refleksivna?

21. Koja se relacija na skupu naziva simetrična?

22. Koja se relacija na skupu naziva antisimetrična?

23. Koja se relacija na skupu naziva tranzitivna?

24. Definirajte odnos ekvivalencije.

25. Definirajte odnos poretka.

26. Koji skup se naziva uređenim?

Svojstva odnosa:

1) refleksivnost;

2) simetrija;

3) tranzitivnost.

4) povezanost.

Stav R na setu X pozvao reflektirajući, ako o svakom elementu skupa X možemo reći da je u vezi R sa sobom: XRx. Ako je relacija refleksivna, tada postoji petlja na svakom vrhu grafa. Obrnuto, graf čiji svaki vrh sadrži petlju je refleksivni relacijski graf.

Primjeri refleksivnih relacija su relacija “višestruko” na skupu prirodnih brojeva (svaki broj je višekratnik samog sebe), i relacija sličnosti trokuta (svaki trokut je sličan samom sebi) i relacija “jednakosti” ( svaki broj je jednak samom sebi) itd.

Postoje relacije koje nemaju svojstvo refleksivnosti, na primjer, odnos okomitosti segmenata: ab, ba(ne postoji niti jedan segment za koji se može reći da je okomit na sebe) . Dakle, ne postoji niti jedna petlja na grafu ove veze.

Relacija “duže” za segmente, “više za 2” za prirodne brojeve, itd. nema svojstvo refleksivnosti.

Stav R na setu X pozvao antirefleksno, ako je za bilo koji element iz skupa X uvek lažno XRx: .

Postoje odnosi koji nisu ni refleksivni ni antirefleksivni. Primjer takvog odnosa je odnos „tačka X simetrično prema tački at relativno ravno l", definisan na skupu tačaka ravni. Zaista, sve tačke prave linije l simetrične su same sebi i tačke koje ne leže na pravoj liniji l, sami po sebi nisu simetrični.

Stav R na setu X pozvao simetrično, ako je uslov ispunjen: iz činjenice da je element X je u odnosu na element y, slijedi da je element y je u vezi R sa elementom X:xRyyRx.

Graf simetrične relacije ima sljedeću osobinu: zajedno sa svakom strelicom koja dolazi X To y, graf sadrži strelicu koja ide od y To X(Sl. 35).

Primjeri simetričnih odnosa mogu biti sljedeći: odnos “paralelnosti” segmenata, odnos “okomitosti” segmenata, odnos “jednakosti” segmenata, odnos sličnosti trouglova, odnos “jednakosti” segmenata razlomci itd.

Postoje odnosi koji nemaju svojstvo simetrije.

Zaista, ako je segment X duži od segmenta at, zatim segment at ne može biti duži od segmenta X. Graf ovog odnosa ima posebnost: strelica koja povezuje vrhove usmjerena je samo u jednom smjeru.

Stav R pozvao antisimetrično, ako za bilo koje elemente X I y od istine xRy trebalo bi da bude lažno yRx: : xRyyRx.

Pored „duže“ relacije, na mnogim segmentima postoje i druge antisimetrične relacije. Na primjer, relacija "veće od" za brojeve (ako X više at, To at ne može biti više X), stav „više o“ itd.

Postoje relacije koje nemaju ni svojstvo simetrije ni svojstvo antisimetrije.

Relacija R na skupu X pozvao tranzitivan, ako iz tog elementa X je u vezi R sa elementom y, i element y je u vezi R sa elementom z, slijedi da je element X je u vezi R sa elementom z: xRy I yRzxRz.

Graf tranzitivnih odnosa sa svakim parom strelica koje dolaze X To y i od y To z, sadrži strelicu koja ide od X To z.

Relacija „duže“ na skupu segmenata takođe ima svojstvo tranzitivnosti: ako je segment A duži od segmenta b, linijski segment b duži od segmenta With, zatim segment A duži od segmenta With. Odnos „jednakosti“ na skupu segmenata takođe ima svojstvo tranzitivnosti: (a=b, b=c)(a=c).

Postoje odnosi koji nemaju svojstvo tranzitivnosti. Takav odnos je, na primjer, relacija okomitosti: ako je segment A okomito na segment b, i segment b okomito na segment With, zatim segmenti A I With ne okomito!

Postoji još jedno svojstvo odnosa, koje se naziva svojstvom povezanosti, a odnos koji ga ima naziva se povezanošću.

Stav R na setu X pozvao povezan, ako za bilo koje elemente X I y iz ovog skupa je zadovoljen sljedeći uslov: ako X I y onda su različiti X je u vezi R sa elementom y, ili element y je u vezi R sa elementom X. Koristeći simbole ovo se može napisati ovako: xyxRy ili yRx.

Na primjer, relacija "veći od" za prirodne brojeve ima svojstvo povezanosti: za bilo koje različite brojeve x i y može se navesti bilo x>y, ili y>x.

U povezanom relacionom grafu, bilo koja dva vrha su povezana strelicom. Tačna je i suprotna izjava.

Postoje odnosi koji nemaju svojstvo povezanosti. Takva relacija, na primjer, je relacija djeljivosti na skupu prirodnih brojeva: takve brojeve možemo imenovati x i y bez obzira na broj X nije djelitelj broja y, niti broj y nije djelitelj broja X(brojevi 17 I 11 , 3 I 10 itd.) .

Pogledajmo nekoliko primjera. Na snimanju X=(1, 2, 4, 8, 12) data je relacija “broj”. X višestruki broj y" Napravimo graf ove veze i formulirajmo njena svojstva.

Za odnos jednakosti razlomaka se kaže da je odnos ekvivalencije.

Stav R na setu X pozvao odnos ekvivalencije, ako istovremeno ima svojstva refleksivnosti, simetrije i tranzitivnosti.

Primjeri relacija ekvivalencije uključuju: odnose jednakosti geometrijskih figura, odnose paralelnosti pravih (pod uslovom da se podudarne prave smatraju paralelnim).

U odnosu „jednakosti razlomaka“ o kojoj smo gore govorili, skup X podijeliti u tri podskupa: ( ; ; }, {; } , (). Ovi podskupovi se ne sijeku, a njihova unija se poklapa sa skupom X, tj. imamo particiju skupa na klase.

dakle, ako je relacija ekvivalencije data na skupu X, onda generiše particiju ovog skupa na parno disjunktne podskupove - klase ekvivalencije.

Tako smo ustanovili da je relacija jednakosti na skupu
X=( ;; ; ; ; ) odgovara podjeli ovog skupa na klase ekvivalencije, od kojih se svaka sastoji od razlomaka jednakih jedni drugima.

Princip podjele skupa na klase korištenjem neke relacije ekvivalencije je važan princip matematike. Zašto?

Prvo, ekvivalent znači ekvivalentan, zamjenjiv. Stoga su elementi iste klase ekvivalencije zamjenjivi. Dakle, razlomci koji su u istoj klasi ekvivalencije (; ; ), se ne razlikuju sa stanovišta odnosa jednakosti i razlomka može se zamijeniti drugim, na primjer . I ova zamjena neće promijeniti rezultat proračuna.

Drugo, budući da klasa ekvivalencije sadrži elemente koji se ne mogu razlikovati sa stanovišta neke relacije, vjeruje se da klasu ekvivalencije određuje bilo koji njen predstavnik, tj. proizvoljan element klase. Dakle, bilo koja klasa jednakih razlomaka može biti specificirana specificiranjem bilo kojeg razlomka koji pripada ovoj klasi. klasa ekvivalencije po jednom predstavniku omogućava vam da proučavate skup predstavnika iz klasa ekvivalencije umjesto svih elemenata skupa. Na primjer, relacija ekvivalencije "imati isti broj vrhova", definirana na skupu poligona, generiše particiju ovog skupa na klase trouglova, četverouglova, peterokuta itd. svojstva svojstvena određenoj klasi se razmatraju na jednom od njenih predstavnika.

Treće, particioniranje skupa na klase pomoću relacije ekvivalencije koristi se za uvođenje novih koncepata. Na primjer, koncept "snopa linija" može se definirati kao ono što paralelne prave imaju zajedničko jedna s drugom.

Drugi važan tip odnosa je odnos poretka. Hajde da razmotrimo problem, na snimanju X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) relacija “imaju isti ostatak kada se podijele sa 3 " Ova relacija generiše particiju skupa X u klase: svi brojevi će pasti u jedan, kada se podijele sa 3 ispada da je to ostatak 0 (ovo su brojevi 3, 6, 9 ). U drugom - brojevi, kada se dijele sa 3 ostatak je 1 (ovo su brojevi 4, 7, 10 ). Treći će sadržavati sve brojeve koji se podijele sa 3 ostatak je 2 (ovo su brojevi 5, 8 ). Zaista, rezultirajući skupovi se ne sijeku i njihova unija se poklapa sa skupom X. Prema tome, relacija „ima isti ostatak kada se podijeli sa 3 “, definisano na setu X, je relacija ekvivalencije.

Uzmimo još jedan primjer, mnogi učenici u razredu mogu se sortirati po visini ili godinama. Imajte na umu da ova relacija ima svojstva antisimetrije i tranzitivnosti. Ili svi znaju redosled slova u abecedi. To je obezbeđeno stavom „treba“.

Stav R na setu X pozvao odnos strogog reda, ako istovremeno ima svojstva antisimetrije i tranzitivnosti. Na primjer, relacija " X< y».

Ako relacija ima svojstva refleksivnosti, antisimetrije i tranzitivnosti, onda će takva biti nestrogi odnos. Na primjer, relacija " Xy».

Primjeri relacija reda uključuju: relaciju “manje od” na skupu prirodnih brojeva, “kraću” relaciju na skupu segmenata. Ako odnos poretka takođe ima svojstvo povezanosti, onda se kaže da jeste linearni odnos poretka. Na primjer, relacija “manje od” na skupu prirodnih brojeva.

Gomila X pozvao uredan, ako je na njemu specificiran odnos naloga.

Na primjer, mnogi X={2, 8, 12, 32 ) može se naručiti pomoću relacije “manje od” (Sl. 41), ili se to može učiniti pomoću relacije “višestruko” (Slika 42). Ali, budući da su relacije reda, relacije „manje od“ i „višestruko“ uređuju skup prirodnih brojeva na različite načine. Relacija “manje od” vam omogućava da uporedite bilo koja dva broja iz skupa X, ali relacija “višestruko” nema ovo svojstvo. U redu, par brojeva. 8 I 12 nije vezano za odnos „višestruko“: to se ne može reći 8 višestruko 12 ili 12 višestruko 8.

Ne treba misliti da se svi odnosi dijele na odnose ekvivalencije i odnose reda. Postoji ogroman broj relacija koje nisu ni odnosi ekvivalencije ni relacije poretka.

Koncept relacije, zajedno sa konceptom skupa, „prožima“ svu matematiku. Intuitivno, odnos se shvata kao veza između objekata. Naš zadatak je da, koristeći gore formulisane konstrukcije teorije skupova, matematičkim jezikom odredimo šta se u matematici podrazumeva pod pojmom „relacija“.

Binarne relacije na skupu

Neka je dat skup A. Povezivanje elemenata henna setovi A modeliran parom (du>). If element X Povezano sa y, to znači da imamo par (l:,y) kao element nekog skupa; ako d; nije vezano za at, što znači da par (l:^) nije objekt skupa. Dakle, imamo sljedeću definiciju.

Binarna relacija na skupu A je proizvoljan skup parova elemenata iz A.

Drugim riječima, binarna relacija na skupu A- je podskup direktnog proizvoda AxA=A 2. Konkretno, sam set A 2 svih parova je binarna relacija.

Po analogiji s binarnom (ili dvomjesnom) relacijom, možemo razmotriti n-lokalni odnos na skupu kao podskup direktnog proizvoda A". Uglavnom ćemo razmatrati binarne relacije, ali radi sažetosti jednostavno kažemo: „relacija na skupu A".

Označimo proizvoljnu binarnu relaciju grčkim slovom p.

Letim )e p, onda kažu da je l" u odnosu na p sa y, i pisati

Ako (du)?P> onda imamo negaciju odgovarajuće izjave. U ovom slučaju, uz unos ~|(hru) (ili hru) pišu doktoru, precrtavajući znak relacije.

Primjer 8.1.1. Razmotrite set A= (1,2,3,4,5). Puno parova

određuje na A relacija "manje od", označena znakom<.>

11 i u istom skupu možemo razmotriti još jedan skup parova

definiše odnos jednakosti.

Primjer 8.1.2. Razmotrimo skup (N, Z, Q, I, R) osnovnih numeričkih skupova i skup parova

Imamo relaciju koju smo definisali u paragrafu 2.2 kao relaciju striktnog uključivanja skupova. Imajte na umu da, na primjer, par (Q. I) ne leži u naznačenom skupu, budući da se Qczl, štaviše, ovi skupovi ne sijeku.

Primjer 8.1.3. Dat je skup riječi L = (struja, mačka, šok, broj, lak). Razmotrite ovu relaciju:

p = ((struja, šok), (šok, struja), (šok, broj), (ulog, šok),

(kolac, lak), (lak, kolac), (mačka, kolac), (kolac, mačka)).

Ovaj odnos se može izraziti na ovaj način: riječi skupa A su u odnosu p ako i samo ako imaju tačno dva identična slova.

Imajte na umu da je svaki skup parova relacija, bez obzira da li postoji dobar verbalni opis za relaciju.

Pošto je relacija skup, može se specificirati karakterističnim svojstvom, tada je mreža predikat R(hu): r = ((.*,>>) eL 2 R(xy)). Također se koristi i oznaka:

Oni čitaju: „r je u vezi sa at ako i samo ako je istina R(hu).”

Primjer 8.1.4. Hajde da definišemo na skupu/! = (1,2,3,4,5) odnos:

Evo R(xy)= (l+2=y). Definirajmo ovaj odnos navođenjem parova:

Primjer 8.1.5. Hajde da ga postavimo na set Z(ili na setu N) relaciju koristeći rečenicu: “Postoji cijeli broj /? takav da x=n y". Simbolično možemo napisati:

Imamo prethodno definisanu relaciju djeljivosti, označenu znakom:. Ova relacija uključuje parove kao što su (6,2), (6,3), (4,4), (111, -37) i druge. Za razliku od prethodnih primjera, ovaj skup parova je beskonačan i neće biti moguće navesti sve parove.

Razmotrimo najvažnija svojstva koja binarne relacije na skupu mogu imati.

Relacija p na skupu A pozvao reflektirajuće, ako postoji neki element X od A je u odnosu p prema sebi, odnosno za sve d; od A LRT se izvodi:

Primjer 8.1.6. Razmotrimo relaciju djeljivosti na skupu Z. Uzmimo proizvoljan cijeli broj X. Jer x=x 9 To x':x. To znači da je bilo koji cijeli broj djeljiv sam po sebi: V.veZ (l:l). Prema tome, relacija djeljivosti je refleksivna.

Pošto je bilo koji skup podskup sam po sebi, inkluzivni odnos skupova je refleksivan (na bilo koju kolekciju skupova).

Relacija p na skupu A pozvao aitireflexive, ako nema elementa skupa A nije u odnosu na p sa samim sobom:

Primjer 8.1.7. R antirefleksivan, jer nijedan broj nije manji od samog sebe.

Konstruirajmo negaciju rečenice “Relacija p je refleksivna”:

Dakle, relacija p nije refleksivna ako i samo ako postoji element heA, koji nije u odnosu p prema sebi. Stav koji nije refleksivan ne mora biti aitirefleksivan.

Primjer 8.1.8. Razmotrimo relaciju na skupu R, dato rečenicom „Broj X suprotno od broja y". Broj X naziva suprotno od broja y, ako iznos x+y jednako 0.

Ovaj stav nije refleksivan. Kontraprimjer: x=1. Pošto je 1 + 1*0, broj 1 nije suprotan od 1.

Ovaj stav nije antirefleksivan. Kontraprimjer: ,v=0. Pošto je 0+0=0, onda je broj 0 suprotan od 0.

Relacija p na skupu A pozvao simetrično, ako iz činjenice da X je u odnosu na p sa y, sledi to at je u odnosu na p sa

Primjer 8.1.9. Iz identiteta x+y=y+.x slijedi sljedeća izjava: za bilo koje realne brojeve X I at Ako X onda suprotno v at suprotno X. To znači da je ovaj odnos simetričan. Često jednostavno kažu: „Brojevi X I at suprotno."

Relacija "broj" X manji broj y" na setu R nije simetrično: 3 je manje od 4, ali 4 nije manje od 3.

Relacija p na skupu A pozvao antisimetrično, ako nema različitih elemenata x i y iz A, takav da hru, nije izvršeno

urgh:

Primjer 8.1.10. Relacija "manje od" na skupu R antisimetrično.

Definicija antisimetrične relacije može se formulisati i na druge načine. Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:

Koristeći tablicu istinitosti, može se dokazati da je formula 1 R l M-ekvivalentno formuli M l K -> R,što je, pak, prema pravilu kontrapozicije ekvivalentno 1 R->~|(L/l TO). Na osnovu ovoga, možemo reći da je relacija p antisimetrična ako i samo ako je zadovoljen jedan od ekvivalentnih uslova:

A) Iz činjenice da hru I uh, trebalo bi x=y:

B) Nikakvi različiti elementi ne mogu istovremeno biti u međusobnom odnosu p.

Primjer 8.1.11. Razmotrimo relaciju inkluzije na proizvoljnoj porodici skupova. Od LsUl Y^X=>X=Y, onda je uključivanje e antisimetrična relacija.

Primjer 8.1.12. Relacija djeljivosti na skupu Z nije ni simetrična ni antisimetrična. Pošto je 4:2, ali 2?4, odnos nije simetričan. Pošto su 2:(-2) i (-2):2, ali (-2)^2, relacija nije antisimetrična.

Međutim, na skupu N prirodnih brojeva imamo antisimetričnu relaciju: Vjt^eN (x:y lu:x ->x=y). Testirajte ovu izjavu koristeći definiciju djeljivosti.

Relacija p na skupu A pozvao tranzitivan, ako iz činjenice da X je u odnosu na p sa y, A at je u odnosu p sa z, sledi da je V u relaciji p sa z:

Primjer 8.1.13. Relacija deljivosti je tranzitivna (i na skupu Z i na skupu N): x:y l y: z => x:z. Hajde da to pokažemo. Neka x:y I y:z. Onda x=pu I y=kz za neke cijele brojeve P I To. Onda x = n(kz) = (nk)z = mz, Gdje T je cijeli broj. Zbog toga xz.

Relacija uključivanja skupova je također tranzitivna: XcY l YcZ => XezZ. Dokaži to.

Relacija "Brojevi" X I at suprotno" nije tranzitivan. Kontraprimjer: x=2,y=-2, 2=2. Tada su brojevi 2 i (-2) suprotni, a takođe (-2) i 2 su suprotni. Ali brojevi x=2 i z=2 ns su suprotne.

Primjer 8.1.14. Pogledajmo neke primjere odnosa iz prethodnog paragrafa.

Relacija iz primjera 8.1.3 je antirefleksivna i simetrična. Relacija iz primjera 8.1.4 je antirefleksivna i antisimetrična. Nijedan od ovih odnosa nije tranzitivan. Dokažite ovo razmatranjem odgovarajućih protuprimjera.

Nekim odnosima koji istovremeno poseduju više svojstava daju se opšta imena. Iz gore razmotrenih primjera, inkluzivna relacija skupova c i relacija djeljivosti na skupu N istovremeno imaju svojstva refleksivnosti, antisimetričnosti i tranzitivnosti.Takođe, ova tri svojstva posjeduje i relacija "X manje ili jednako at", definiran na skupu R (ili na bilo kojem njegovom podskupu):

Zove se refleksivna, antisimetrična i tranzitivna relacija odnos poretka.

Gomila A, na kojoj je data relacija reda p, se zove naručeni set. Oni pišu (A, R).

Trenutno je teorija uređenih skupova velika grana matematike, kojoj su posvećene čitave knjige. Zabilježit ćemo samo niz karakteristika koncepta „uređenog skupa“.

Intuitivno se riječi „uređeni skup” često shvataju u užem smislu. Razmotrimo uređeni l-ku, sastavljen od različitih elemenata u paru. Na primjer, pet slova (III, K, O, L, A) definiraju riječ ŠKOLA. U ovom slučaju, riječi „elementi se pišu određenim redoslijedom“ podrazumijevaju se u smislu da smo ih numerirali prirodnim brojevima 1, 2, 3, 4, 5 i poredali ih u rastućem redoslijedu brojeva. Hajde da generalizujemo ovaj primer.

Neka nam bude dat skup "-elemenata A. Numeracijom elemenata na neki način a, a 2 >a„, zapravo dobijamo uređeni skup definiranjem odnosa poretka na sljedeći način:

Relacija se shvata na sledeći način: da je element X povezan sa drugim elementom y, znači da X upisano u tuple s lijeve strane u.

Primjer 8.1.15. Dat je skup /4=(a,b.c,d). Uređena četiri njegova različita elementa (b, c, a, d) će dati sljedeću relaciju reda:

((b,b), (b,c), (b,a), (b,d), (c,c), (c,a), (c,d), (a,a), ( a,d), (d,g)).

Imajte na umu da poredak ne mora imati takozvano svojstvo linearnosti.

Primjer 8.1.16. Razmotrimo na setu A =(2,4,6,8) omjer djeljivosti:. Navedite ovaj odnos sa mnogo parova. Od u A sadrže samo prirodne brojeve, tada: odnos reda. Imamo naručeni set A, :).

Takav poredak se ne može predstaviti u obliku uređena četiri elementa koji slijede jedan za drugim. Možete dati grafičku ilustraciju odnosa pomoću tačaka i strelica: od tačke X upravo at strelica vodi ako i samo ako x:y.

Razmotrimo brojeve 6 i 4. Nijedan od njih nije djeljiv s drugim. Kažu da su to neuporedivi elementi.

Pustite na set A data je relacija reda p. Elementi * i at su pozvani uporedivi, ako je barem jedan od dva odnosa zadovoljen hru ili urgh.

Naručite p na setu A pozvao linearno, ako bilo koja dva elementa skupa A uporedivi. Poziva se skup na kojem je definiran linearni poredak linearno uređeno(ili lanac).

Primjer 8.1.17. Relacija R je linearni poredak od Vx^yeR (x Stoga (R,

naručeni set.

Odnos djeljivosti prirodnih brojeva općenito nije linearan red. Protuprimjer je dat u primjeru 8.1.16."

Zapazimo da je svaki linearni red na konačnom skupu dat numeracijom njegovih elemenata. Da bi se naglasilo da poredak možda nije linearan, uređeni skup se općenito ponekad naziva djelomično uređenim.

Da bismo definirali opći koncept binarne relacije na skupu, učinit ćemo isto kao u slučaju korespondencije,

one. Pogledajmo prvo konkretan primjer. Neka je skupu X = (2, 4, 6, 8) data relacija “manje od”. To znači da za bilo koja dva broja iz skupa X možemo reći koji je manji: 2< 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но все эти пары есть элементы декартова произведения X х X, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве X, можно сказать, что оно является подмножеством множества X х X.

Općenito, binarne relacije na skupu X definiraju se na sljedeći način:

Definicija. Binarna relacija na skupu X je bilo koji podskup kartezijanskog proizvoda X x X.

Budući da ćemo ubuduće razmatrati samo binarne relacije, riječ „binarni“ će po pravilu biti izostavljena.

Dogovorimo se da odnose označavamo slovima R, S, T, P, itd.

Ako su R relacije na skupu X, onda je, prema definiciji, R X x X. S druge strane, ako je dat neki podskup skupa X x X, onda on definira neku relaciju R na skupu X.

Izjava da su elementi x i y u odnosu na R može se napisati na sljedeći način: (x, y) R ili x R y. Posljednji unos glasi: "Element x je u odnosu R prema elementu y."

Odnosi se definišu na isti način kao i korespondencije. Relacija se može definirati navođenjem parova elemenata skupa X koji se nalaze u ovoj relaciji. Oblici predstavljanja takvih parova mogu biti različiti - slični su oblicima specificiranja korespondencije. Razlike se odnose na specificiranje odnosa pomoću grafa.

Konstruirajmo, na primjer, graf relacija “manje od” datih na skupu X = (2, 4, 6, 8). Da bismo to uradili, elemente skupa X predstavljamo kao tačke (oni se nazivaju vrhovi grafa), a relaciju „manje od“ kao strelicu (slika 1).

Na istom skupu X možemo razmotriti još jednu relaciju - „višestruko“. Graf ove relacije će imati petlju na svakom vrhu (strelicu čiji se početak i kraj poklapaju), budući da je svaki broj višekratnik samog sebe (slika 2).

Odnos se može specificirati pomoću klauzule s dvije varijable. Tako su, na primjer, dati odnosi „manje od“ i „višestruko“ o kojima se gore raspravljalo, a kratki oblik rečenica „broj x je manji od broja y“ i „broj x je višekratnik broja y " se koristi. Neke takve rečenice mogu se napisati pomoću simbola. Na primjer, relacije “manje od” i “višestruko” mogu se specificirati u sljedećem obliku: “x<у», «х у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х – у = 3).

Za relaciju R specificiranu na skupu X uvijek je moguće specificirati relaciju R -1, njenu inverznu - definira se na isti način kao korespondencija inverzna datoj. Na primjer, ako je R relacija "x je manje od y", tada će njegova inverzna biti relacija "y je veći od x".

Koncept relacije inverzne datoj često se koristi u početnoj nastavi matematike. Na primjer, da bi spriječili grešku u odabiru radnje kojom ćete riješiti problem: „Petya ima 7 olovaka, što je 2 manje od Borisa. Koliko olovaka ima Bori? - biće preformulisano: „Petya ima 7 olovaka, a Boris ima još 2 olovke. Koliko olovaka ima Bori? Vidimo da se preformulacija svodila na zamjenu relacije „manje za 2” njenom inverznom relacijom „više za 2”.

Svojstva odnosa

Ustanovili smo da je binarna relacija na skupu X skup uređenih parova elemenata koji pripadaju kartezijanskom proizvodu XxX. Ovo je matematička suština svakog odnosa. Ali, kao i svaki drugi koncept, odnosi imaju svojstva. Oni su identifikovani proučavanjem različitih specifičnih odnosa. Ima dosta nekretnina, na našem kursu ćemo proučiti samo neke. Razmotrimo skup segmenata prikazanih na Sl. 3, odnosi okomitosti, jednakosti i „duže“. Napravimo grafikone ovih odnosa (slika 4) i uporedimo ih.

Vidimo da se graf relacija jednakosti razlikuje od druga dva po prisutnosti petlji u svakom od njegovih vrhova. Ove petlje su rezultat činjenice da relacija jednakosti segmenata ima svojstvo: svaki segment je jednak sam sebi. Za odnos jednakosti se kaže da ima svojstvo refleksivnost ili samo šta jeste refleksivno .

Definicija. Relacija R na skupu X naziva se refleksivnom ako se za svaki element skupa X može reći da je u odnosu R sa samim sobom.

R je refleksivan na X<=>xRx za bilo koji x X

Ako je relacija R refleksivna na skupu X, tada svaki vrh grafa ove relacije ima petlju. Vrijedi i obrnuto: graf, čiji svaki vrh ima petlju, definira odnose koji imaju svojstvo refleksivnosti.

Primjeri refleksivnih odnosa:

Relacija je “višestruka” na skupu prirodnih brojeva (svaki prirodni broj je višekratnik samog sebe);

Odnos sličnosti između trouglova (svaki trougao je sličan samom sebi).

Postoje odnosi koji ne posjeduju svojstvo refleksivnosti. Ovo je, na primjer, odnos okomitosti na skup segmenata: ne postoji niti jedan segment za koji bi se moglo reći da je okomit na sebe. Dakle, ne postoji niti jedna petlja u grafu odnosa okomitosti (slika 4). Relacija „duže“ za segmente takođe nema svojstvo refleksivnosti.

Skrenimo sada našu pažnju na grafove odnosa okomitosti i jednakosti segmenata. Oni su “slični” po tome što ako postoji jedna strelica koja povezuje par elemenata, onda sigurno postoji još jedna koja povezuje iste elemente, ali ide u suprotnom smjeru. Ova karakteristika grafa odražava svojstva koja imaju odnosi paralelizma i jednakosti segmenata:

Ako je jedan segment okomit na drugi segment, onda je ovaj "drugi" okomit na prvi;

Ako je jedan segment jednak drugom segmentu, onda je ovaj "drugi" jednak prvom.

Za odnose okomitosti i jednakosti segmenata se kaže da imaju svojstvo simetrije ili jednostavno simetrične.

Definicija. Relacija R na skupu X naziva se simetrična ako je ispunjen sljedeći uvjet: iz činjenice da je element x u relaciji između R i elementa y, slijedi da je element y također u vezi između R i elementa x.

Koristeći simbole, ovaj odnos se može napisati na sljedeći način:

R je simetričan na X<=>(xRy => yRx)

Graf simetričnih odnosa ima posebnu karakteristiku: pored svake strelice koja ide od x do y, graf sadrži i strelicu koja ide od y do x. Tačna je i suprotna izjava. Graf koji sadrži svaku strelicu koja ide od x do y i strelicu koja ide od y do x je simetrični relacijski graf.

Uz dva razmatrana primjera simetričnih odnosa, dodajemo sljedeće:

Relacija paralelizma na skupu pravih (ako je prava x paralelna pravoj y, tada je prava y paralelna pravoj x);

Odnos sličnosti između trouglova (ako je trokut F sličan trokutu P, onda je trokut P sličan trokutu F).

Postoje odnosi koji nemaju svojstvo simetrije. Ovo je, na primjer, relacija “duža” na skupu segmenata. Zaista, ako je segment x duži od segmenta y, tada segment y ne može biti duži od segmenta x. O odnosu "duži" kažu da ima svojstvo antisimetrije ili je jednostavno antisimetrično.

Definicija. Relacija R na skupu X se kaže da je antisimetrična ako je za različite elemente x i y iz skupa X zadovoljen sljedeći uvjet: iz činjenice da je x u odnosu R sa elementom y, slijedi da je element y nije u odnosu R sa elementom x .

antisimetrično na X<=>(xRy i x≠y => )

Antisimetrični relacioni graf ima posebnu osobinu: ako su dva vrha grafa povezana strelicom, onda postoji samo jedna strelica. Vrijedi i obrnuto: graf čiji su vrhovi povezani samo jednom strelicom je antisimetrični relacijski graf.

Pored "duže" relacije na skupu segmenata, na primjer, oni imaju svojstvo antisimetrije:

Relacija “veće od” za brojeve (ako je x veće od y, onda y ne može biti veće od x);

Relacija “veće za 2” za brojeve (ako je x veći od y za 2, onda y ne može biti veći od x za 2).

Postoje relacije koje nemaju ni svojstvo simetrije ni svojstvo antisimetrije. Razmotrite, na primjer, odnos “biti sestra” prema mnogo djece iz iste porodice. Neka u porodici bude troje djece: Katya, Masha i Tolya. Tada će graf relacije “biti sestra” biti isti kao na slici 5. Pokazuje da ova relacija nema ni svojstvo simetrije ni svojstvo antisimetrije.

Obratimo pažnju još jednom na jednu osobinu „dužeg“ grafa relacija (slika 4). Na njemu možete vidjeti: ako su izvučene strelice e To A i od A To With, odnosno strelica iz e To With; ako su strelice iz e To b i od b To With, odnosno strelica i od e To With itd. Ova karakteristika grafa odražava važno svojstvo „duže“ relacije: ako je prvi segment duži od drugog, a drugi duži od trećeg, onda je prvi duži od trećeg. Za ovu relaciju se kaže da ima svojstvo tranzitivnosti ili jednostavno tranzitivno.

Definicija. Relacija R na skupu X naziva se tranzitivna ako je ispunjen sljedeći uvjet: iz činjenice da je element x u odnosu između R i elementa y i element y u odnosu između R i elementa z, slijedi da je element x u vezi između R i elementa z.

Koristeći simbole, ova definicija se može napisati na sljedeći način:

R je tranzitivan na X<=>(xRy i yRz => xRz)

Graf tranzitivnih odnosa sa svakim parom strelica koje dolaze X To at I at To z, sadrži strelicu koja ide od X To z. Tačna je i suprotna izjava.

Pored relacije “duže” na skupu segmenata, relacija jednakosti ima svojstvo tranzitivnosti: ako je segment X jednak segmentu at i segment at jednak segmentu z, zatim segment X jednak segmentu z. Ovo svojstvo se takođe odražava u grafu odnosa jednakosti (slika 4)

Postoje relacije koje nemaju svojstvo tranzitivnosti. Takav odnos je, na primjer, relacija okomitosti: ako je segment a okomit na segment d, a segment d okomit na segment b, tada segmenti a i b nisu okomiti!

Razmotrimo još jedno svojstvo relacija, koje se zove svojstvo povezanosti, a relacija koja ga ima naziva se povezana.

Definicija. Relacija R na skupu X se kaže povezanom ako je za bilo koje elemente x i y iz skupa X zadovoljen sljedeći uvjet: iz činjenice da su x i y različiti, slijedi da je bilo x u relaciji R sa element y, ili element y je u odnosu R sa elementom x.

Koristeći simbole, ova definicija se može napisati na sljedeći način:

R je povezan na skup X<=>(x≠y xRy ili yRx)

Na primjer, relacije “veće od” za prirodne brojeve imaju svojstvo povezanosti: za bilo koje različite brojeve x i y može se reći da je ili x>y ili y>x.

U povezanom relacionom grafu, bilo koja dva vrha su povezana strelicom. Tačna je i suprotna izjava.

Postoje odnosi koji nemaju svojstvo povezanosti. Takva relacija je, na primjer, relacija djeljivosti na skupu prirodnih brojeva: brojeve možemo nazvati hnu takve da ni broj x nije djelitelj broja y, niti je broj y djelitelj broja x.

Odabrana svojstva omogućavaju analizu različitih odnosa iz opšte perspektive – prisutnost (ili odsustvo) određenih svojstava u njima.

Dakle, ako sumiramo sve što je rečeno o odnosu jednakosti definisanom na skupu segmenata (slika 4), ispada da je on refleksivan, simetričan i tranzitivan. Relacija „duže“ na istom skupu segmenata je antisimetrična i tranzitivna, a relacija okomitosti je simetrična, ali nema svojstva refleksivnosti i tranzitivnosti. Sve ove relacije na datom skupu

segmenti nisu povezani.

Zadatak 1. Formulirajte svojstva relacije R definisane pomoću grafa (slika 6).

Rješenje. Relacija R- je antisimetrična, jer su vrhovi grafa povezani samo jednom strelicom.

Relacija R je tranzitivna, jer sa par strelica koje dolaze iz b To A i od A To With, graf ima strelicu koja ide od b To With.

Relacija R je povezana, jer su bilo koja dva vrha povezana strelicom.

Relacija R nema svojstvo refleksivnosti, jer graf ima vrhove koji nemaju petlju.

Zadatak 2. Formulirajte svojstva relacije “više od 2 puta” definirane na skupu prirodnih brojeva.

Rješenje. “2 puta više” je kratka forma relacije “broj x je dvostruko veći od broja y”. Ovaj odnos je antisimetričan, pošto je uslov zadovoljen: iz činjenice da je broj x 2 puta veći od broja y, proizilazi da broj y nije 2 puta veći od broja x.

Ova relacija nema svojstvo refleksivnosti, jer se ni za jedan broj ne može reći da je 2 puta veći od samog sebe.

Zadata relacija nije tranzitivna, jer iz činjenice da je broj X više broja at za 2, a broj y je veći od broja z sa 2, slijedi da je broj X ne može biti više od broja z na 2.

Ova relacija na skupu prirodnih brojeva nema svojstvo povezanosti, jer postoje parovi brojeva x i y takvi da niti je broj duplo veći od y, niti je broj y veći od dva puta veći od x. Na primjer, to su brojevi 7 i 3,5 i 8 itd.

Povezane definicije

Svojstva odnosa

Binarne relacije mogu imati različita svojstva, kao npr

Vrste odnosa

• Refleksivna tranzitivna relacija naziva se relacija kvazi-reda.
• Refleksivna simetrična tranzitivna relacija naziva se relacija ekvivalencije.
• Refleksivna antisimetrična tranzitivna relacija naziva se (parcijalna) relacija reda.
• Antirefleksivna antisimetrična tranzitivna relacija naziva se relacija strogog reda.
• Potpuna antisimetrična (za bilo koje vrijednosti x, y xRy ili yRx) tranzitivna relacija naziva se relacija linearnog reda.
• Antirefleksivni asimetrični odnos naziva se odnos dominacije.

Vrste dvostrukih odnosa

• Obrnuti stav [odrediti] (relacija inverzna prema R) je binarna relacija koja se sastoji od parova elemenata (y, x) dobijenih permutacijom parova elemenata (x, y) date relacije R. Označava se sa: R −1. Za ovu relaciju i njen inverz vrijedi sljedeća jednakost: (R −1) −1 = R.
• Recipročni odnosi(recipročni odnosi) - odnosi koji su inverzni jedni prema drugima. Raspon vrijednosti jednog od njih služi kao raspon definicije drugog, a raspon definicije prvog služi kao raspon vrijednosti drugog.
• Reflektivni stav- binarna relacija R definirana na određenom skupu i karakterizirana time da je za bilo koji x ovog skupa element x u odnosu R prema sebi, odnosno za bilo koji element x ovog skupa vrijedi xRx. Primjeri refleksivnih odnosa: jednakost, istovremenost, sličnost.
• Antirefleksivan stav(Nerefleksivna relacija, imajte na umu da se kao što se antisimetrija ne poklapa sa asimetrijom, nerefleksivnost se ne podudara sa nerefleksivnošću.) - relacija na dva mjesta R definirana na određenom skupu i karakterizirana time da za bilo koji element x ovog skupa nije tačno da je u odnosu R prema sebi (nije tačno da je xRx), odnosno moguće je da element skupa nije u odnosu R prema sebi. Primjeri nerefleksivnih stavova: „brinuti se“, „zabavljati“, „nervozno“.
• Tranzitivna relacija- dvomjesna relacija R, definirana na određenom skupu i karakterizirana time da za bilo koje x, y, z ovog skupa, xRy i yRz impliciraju xRz (xRy&yRzxRz). Primjeri tranzitivnih odnosa: “više”, “manje”, “jednako”, “slično”, “iznad”, “sjever”.
• Intranzitivna relacija [odrediti] - binarna relacija R definirana na određenom skupu i karakterizirana time da za bilo koje x, y, z ovog skupa xRy i yRz ne impliciraju xRz ((xRy&yRzxRz)). Primjer intranzitivne relacije: "x je otac y"
• Simetrična relacija- relacija R na dva mjesta, definirana na određenom skupu i karakterizirana time da za bilo koje elemente x i y ovog skupa, iz činjenice da je x prema y u odnosu R (xRy), slijedi da je y u istom odnos prema x ( yRx). Primjer simetričnih odnosa može biti jednakost (=), odnos ekvivalencije, sličnosti, istovremenosti, neki odnosi srodstva (na primjer, odnos bratstva).
• Antisimetrična relacija- relacija R na dva mjesta, definirana na određenom skupu i karakterizirana time da za bilo koje x i y iz xRy i xR −1 y slijedi x = y (odnosno, R i R −1 su istovremeno zadovoljeni samo za članove jednake jedan drugog).
• Asimetrični odnos [odrediti] je relacija R na dva mjesta, definirana na određenom skupu i karakterizirana time da za bilo koje x i y, xRy implicira yRx. Primjer: odnos “više od” (>) i “manje od” (<).
• Relacija ekvivalencije(odnos identiteta [ odrediti], relacija tipa jednakosti) je relacija R na dva mjesta između objekata x i y u predmetnoj oblasti D, koja zadovoljava sljedeće aksiome (uslove): Dakle, relacija tipa jednakosti je istovremeno refleksivna, simetrična i tranzitivna. Primjeri: jednakost, jednaka kardinalnost dva skupa, razmjenjivost dobara na tržištu, sličnost, istovremenost. Primjer relacije koja zadovoljava aksiom (3), ali ne zadovoljava aksiome (1) i (2): „više“.
• Odnosi reda- relacije koje imaju samo neka od tri svojstva relacije ekvivalencije. Konkretno, relacija koja je refleksivna i tranzitivna, ali asimetrična (na primjer, „ne više“) formira „laksi“ poredak. Relacija je tranzitivna, ali nerefleksivna i asimetrična (na primjer, "manje od") - "strogi" red.
• Funkcija- dvostruki odnos R, definiran na određenom skupu, karakteriziran time da za svaku vrijednost x odnos xRy y. Primjer: " y otac x" Svojstvo funkcionalnosti relacije R zapisuje se kao aksiom: ( xRy I xRz)→(y≡z). Od svake vrijednosti x u izrazima xRy I xRz onda odgovara istoj vrijednosti y I z poklapaju, ispostavi se da je isto. Funkcionalna relacija je jedinstvena, jer svaka vrijednost x ima relaciju xRy odgovara samo jednoj vrijednosti y, ali ne i obrnuto.
• Bijection(one-place relation) - dvomjesni odnos R, definiran na određenom skupu, karakteriziran time što u njemu svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti at, i svaku vrijednost at odgovara jednoj vrijednosti X. Relacija jedan-na-jedan je poseban slučaj relacije jedan-na-jedan.
• Povezani odnos- ovo je odnos na dva mesta R, definiran na određenom skupu, karakteriziran time da za bilo koja dva različita elementa X I at ovog skupa, jedan od njih je u odnosu R drugom (to jest, jedna od dva odnosa je zadovoljena: xRy ili yRx). Primjer: relacija "manje od" (<).

Operacije na odnosima

Budući da su relacije definirane na fiksnom paru skupova , , podskupovi skupa , skup svih ovih relacija formira Bulovu algebru s obzirom na operacije ujedinjenja, presjeka i sabiranja relacija. Posebno za proizvoljno

Često, umjesto kombinovanja, ukrštanja i dopunjavanja odnosa, oni govore o njihovoj disjunciji, konjukciji i negaciji.

Na primjer, , , to jest, unija relacije strogog reda s relacijom jednakosti poklapa se s relacijom nestrogog reda, a njihov presjek je prazan.

Pored navedenih, važne su i operacije inverzije i množenja relacija koje su definisane na sledeći način.

Ako , tada je inverzna relacija relacija definirana na paru i koja se sastoji od onih parova za koje . Na primjer, .

Neka sada, . Proizvod odnosa je odnos takav da

Ako , i , tada je proizvod odnosa nedefiniran. Ako uzmemo u obzir relacije definirane na nekom skupu, onda do takve situacije ne dolazi.

Na primjer, uzmite u obzir strogi odnos reda definiran na skupu prirodnih brojeva. Lako je to primijetiti

Binarni odnosi se nazivaju komutativni ako . Lako je vidjeti da za bilo koju binarnu relaciju definiranu na , gdje simbol označava jednakost definiranu na . Međutim, jednakost nije uvijek pravedna.

Važe sljedeći identiteti:

Imajte na umu da analogi posljednja dva identiteta ne vrijede.

Neka svojstva relacije mogu se odrediti pomoću relacijskih operacija:

vidi takođe

Književnost

• A. I. Maltsev. Algebarski sistemi. - M.: Nauka, 1970.

Wikimedia Foundation. 2010.

- predikat na dva mjesta na datom skupu. Pod B. o. ponekad shvaćen kao podskup skupa uređenih parova (a, 6) elemenata datog skupa A. B. o. poseban slučaj veze. Neka bude. Ako, onda se za element kaže da je binarno... ... Mathematical Encyclopedia

U logici, nešto što, za razliku od svojstva, ne karakteriše pojedinačni objekat, već par, tri, itd. stavke. Tradicionalna logika nije razmatrala O.; u modernoj logici O. je propoziciona funkcija dvije ili više varijabli. binarni... Philosophical Encyclopedia

stav- VEZA je skup uređenih n ok pojedinaca (gdje je n 1), tj. dvojke, trojke itd. Broj n se naziva "lokalitet", ili "arity", O. i, u skladu s tim, govore o n lokalnom (n arno) O. Tako se, na primjer, dvostruko O. zove ... ... Enciklopedija epistemologije i filozofije nauke

U teoriji potrošača, ovo je formalni opis sposobnosti potrošača da uporedi (red po želji) različite skupove dobara (potrošačke pakete). Da bismo opisali odnos preferencija, nije potrebno mjeriti poželjnost... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Stav. Relacija je matematička struktura koja formalno definira svojstva različitih objekata i njihovih odnosa. Odnosi se obično klasifikuju prema broju objekata koji se povezuju... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Stav. Relacija u logici prvog reda prema dva ili više predikata argumenata (više predikata), dva ili više svojstava predikata. Znak odnosa: R.[navedite] U smislu odnosa....... Wikipedia, A.I. Širokov. Priručnik je sedmi dio odjeljka “Osnovne teorijske konstrukcije skupova” nastavne discipline “Diskretna matematika”. Uvodi i analizira takve... eBook